2) On suppose désormais que p u s’écrit X
k Q avec k 1 et Q(0) = 0.
Montrer que Ker u
k = Ker u.
3) Montrer que p u = X Q.
4) Conclure.
1) Si p u (0) = 0, alors 0 /
∈ Sp(u) donc Ker u = {0} et Im u = E. Donc p = Id E .
2) D’après le lemme de décomposition des noyaux E = Ker u
k
⊕ Ker Q(u).
Comme Q s’écrit Q = a 0 + a 1 X + · · · avec a 0 = 0, si x ∈ Ker Q(u) alors
x = −
1
a 0
(a 1 u(x) + · · · ) donc x ∈ Im u. Ainsi Ker Q(u) ⊂ Im u.
D’autre part, on sait que Ker u ⊂ Ker u
k donc, pour des raisons de dimension,
Ker Q(u) = Im u et Ker u
k = Ker u.
3) On a E = Ker u ⊕ Ker Q(u) donc X Q est un polynôme annulateur de u, donc
multiple de p u . Comme p u = X
k Q, nécessairement k = 1 et p u = X Q.
4) Le lemme de décomposition des noyaux appliqué à X × Q en u (Q et X sont premiers entre eux car Q(0) = 0) nous dit que le projecteur sur Ker u parallèlement
à Ker Q(u) = Im u est un polynôme en u (c’est un résultat du cours : il peut être
utile de revoir la démonstration du lemme de décomposition des noyaux).
7.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 7.50
Mines-Ponts MP 2006 Ã
Soit n ∈ N. Soit ( A, B) ∈ R [X ]
2 où B est un polynôme de degré n + 1 scindé à
racines simples.
Soit F l’endomorphisme
R [X ] −→ R [X ]
P
−→ F (P)
où F (P) est le reste de la
division euclidienne de AP par B.
Déterminer les éléments propres de F. Existe-t-il une base de R[X ] formée de
vecteurs propres ?
L’énoncé admet que F est un endomorphisme.
Notons a 1 , . . . , a n+1 les racines (deux à deux distinctes) de B. Soient (L i ) i∈[[1 ,n+1]]
les polynômes de Lagrange de R n [X ] tels ∀(i, j) ∈ [[1, n + 1]]
2 , L i
a j
= d i, j .
Pour tout j ∈ [[1 , n + 1]] , posons R i = F (L i ) ∈ R n [X ].
On a alors A
a j
L i
a j
= B
a j
Q i
a j
+ R i
a j
,
d’où (puisque B
a j
= 0 ), R i
a j
= A
a j
d i, j , ce qui montre (unicité du
polynôme interpolateur) que R i = A (a i ) L i .
Ainsi les L i sont des vecteurs propres de valeurs propres A (a i ) .
Remarquons aussi que B·R[X ] = Ker F. Ainsi B·R[X ] est le sous-espace propre associé à la valeur propre 0, et une base de ce sous-espace est (B, X B, X
2 B, X
3 B, . . . ).
k Q avec k 1 et Q(0) = 0.
Montrer que Ker u
k = Ker u.
3) Montrer que p u = X Q.
4) Conclure.
1) Si p u (0) = 0, alors 0 /
∈ Sp(u) donc Ker u = {0} et Im u = E. Donc p = Id E .
2) D’après le lemme de décomposition des noyaux E = Ker u
k
⊕ Ker Q(u).
Comme Q s’écrit Q = a 0 + a 1 X + · · · avec a 0 = 0, si x ∈ Ker Q(u) alors
x = −
1
a 0
(a 1 u(x) + · · · ) donc x ∈ Im u. Ainsi Ker Q(u) ⊂ Im u.
D’autre part, on sait que Ker u ⊂ Ker u
k donc, pour des raisons de dimension,
Ker Q(u) = Im u et Ker u
k = Ker u.
3) On a E = Ker u ⊕ Ker Q(u) donc X Q est un polynôme annulateur de u, donc
multiple de p u . Comme p u = X
k Q, nécessairement k = 1 et p u = X Q.
4) Le lemme de décomposition des noyaux appliqué à X × Q en u (Q et X sont premiers entre eux car Q(0) = 0) nous dit que le projecteur sur Ker u parallèlement
à Ker Q(u) = Im u est un polynôme en u (c’est un résultat du cours : il peut être
utile de revoir la démonstration du lemme de décomposition des noyaux).
7.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 7.50
Mines-Ponts MP 2006 Ã
Soit n ∈ N. Soit ( A, B) ∈ R [X ]
2 où B est un polynôme de degré n + 1 scindé à
racines simples.
Soit F l’endomorphisme
R [X ] −→ R [X ]
P
−→ F (P)
où F (P) est le reste de la
division euclidienne de AP par B.
Déterminer les éléments propres de F. Existe-t-il une base de R[X ] formée de
vecteurs propres ?
L’énoncé admet que F est un endomorphisme.
Notons a 1 , . . . , a n+1 les racines (deux à deux distinctes) de B. Soient (L i ) i∈[[1 ,n+1]]
les polynômes de Lagrange de R n [X ] tels ∀(i, j) ∈ [[1, n + 1]]
2 , L i
a j
= d i, j .
Pour tout j ∈ [[1 , n + 1]] , posons R i = F (L i ) ∈ R n [X ].
On a alors A
a j
L i
a j
= B
a j
Q i
a j
+ R i
a j
,
d’où (puisque B
a j
= 0 ), R i
a j
= A
a j
d i, j , ce qui montre (unicité du
polynôme interpolateur) que R i = A (a i ) L i .
Ainsi les L i sont des vecteurs propres de valeurs propres A (a i ) .
Remarquons aussi que B·R[X ] = Ker F. Ainsi B·R[X ] est le sous-espace propre associé à la valeur propre 0, et une base de ce sous-espace est (B, X B, X
2 B, X
3 B, . . . ).