Supposons qu’il existe une et une seule droite de E stable par f . Alors f n’a
qu’une seule valeur propre. Notons la l. L’endomorphisme u = f − l Id E admet
0 pour unique valeur propre et le théorème de Cayley-Hamilton montre que u
est nilpotent. Les vecteurs propres de u sont les vecteurs non nuls de Ker u. Il
résulte de l’hypothèse que Ker u est de dimension 1, et on déduit de la question
précédente que u = f − l Id E est nilpotent d’indice n.
Réciproquement, si f − l Id E est nilpotente d’indice n, alors Ker f − l Id E est
la seule droite vectorielle stable par f − l Id E , et c’est donc aussi la seule droite
stable par f .
Exercice 7.48
Polytechnique MP 2005
Soit A ∈ M n (C). Déterminer l’ensemble des polynômes complexes P tels que
P(A) est nilpotente ?
La matrice P(A) est nilpotente si et seulement si il existe k ∈ N tel que P
k (A) = 0,
ce qui équivaut à l’existence de k ∈ N tel que p A | P
k .
Soient l 1 , . . . , l r les valeurs propres (distinctes) de A. On a alors p A =
r
i=1
(X −l i )
b i ,
avec b i 1 pour tout i ∈ [[1, p]].
• Supposons que p A divise P
k . Il existe Q ∈ C[X ] tel que P
k = p A Q. Soit l une
racine de p A , alors P(l)
k = 0, donc l est racine de P.
• Supposons que toute racine de p A soit racine de P. Le polynôme
r
i=1
(X − l i )
divise P, donc en posant k = max
1ir
b i , on en déduit que p A divise
r
i=1
(X − l i )
k ,
donc divise P
k .
En conclusion, l’ensemble cherché est l’idéal de C[X ] engendré par
r
i=1
(X − l i ).
Exercice 7.49
Polytechnique MP 2005
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u dans L(E) tel que
Ker u ⊕ Im u = E. Montrer que le projecteur p sur Ker u parallèlement à
Im u est un polynôme en u.
Nous allons vous guider un peu :
1) Démontrer le résultat lorsque p u (0) = 0.
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