Chap. 7. Réduction des endomorphismes
Si deux endomorphismes u et v admettent une base commune de vecteurs propres B,
alors les matrices de u et de v dans la base B sont diagonales, et elles commutent de
manière évidente.Donc les endomorphismes u et v commutent.
Supposons réciproquement que u et v commutent et sont diagonalisables.
Soient l 1 , . . . , l p les valeurs propres distinctes de u, et soient E 1 , . . . , E p les sousespace propres associés. Chaque sous-espace E i est stable par v, et l’endomorphisme
v i induit par v sur E i est un endomorphisme diagonalisable. On peut donc trouver
une base B i de E i formée de vecteurs propres de v i , donc de v. Notons que les
vecteurs de la base B i sont aussi des vecteurs propres de u par définition. Comme
E est somme directe des sous-espaces E i , le système B = (B 1 , . . . , B p ) obtenu en
regroupant les vecteurs des bases B i est une base de E, et c’est une base commune
de vecteurs propres pour u et v.
Montrons plus généralement que si u 1 , . . . , u q sont q endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux, alors il existe une base de vecteurs propres commune à tous ces endomorphismes. On raisonne par récurrence sur q.
La propriété est vérifiée pour q = 1 et q = 2. Supposons la vérifié à l’ordre q, et soit
u q+1 un endomorphisme diagonalisable qui commute avec u 1 , . . . , u q .
Soient E 1 ,. . ., E p les sous-espaces propres de u q+1 . Ils sont stables par u 1 , . . . u q et
les endomorphismes induits par u 1 , . . . , u q sur chaque sous-espace E i commutent
et sont diagonalisables. Grâce à l’hypothèse de récurrence on peut trouver une base
B i de E i formée de vecteurs propres de u 1 , . . . , u q . Comme précédemment, la base
B = (B 1 , . . . , B p ) est une base commune de vecteurs propres pour u 1 , . . . , u q , u q+1 .
La propriété est donc vérifiée à l’ordre q + 1.
Exercice 7.46
Commutant d’un endomorphisme diagonalisable, très classique
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie n 2 et u ∈ L (E). On
note, C(u) = {v ∈L(E) | u ◦ v = v ◦ u}.
1) Montrer que C(u) est une sous-algèbre de L (E) contenant K [u].
2) Démontrer que si u admet n valeurs propres distinctes, alors on a l’égalité
C(u) = Vect(Id E , u, . . . , u
n−1 ).
3) On suppose que u est diagonalisable. Soient l 1 , . . . , l p les valeurs propres
deux à deux distinctes d’ordres de multiplicité respectifs m 1 , . . . , m p , et de
sous-espaces propres respectifs E 1 , . . . , E p .
Soit v ∈ L (E), montrer que v ∈ C(u) si et seulement si ∀k ∈ [[1 , p]], E k est
stable par v. En déduire dim C(u)).
1) On a u ◦ Id E = Id E ◦u = u donc Id E ∈ C(u). Si (v, w) ∈ C (u)
2 et (l, m) ∈ K
2 ,
alors u ◦ (lv + mw) = lu ◦ v + mu ◦ w = lv ◦ u + mw ◦ u = (lv + mw) ◦ u, et donc
(lv + mw) ∈ C (u) . Enfin si (v, w) ∈ C (u)
2 , alors u ◦v ◦ w = v ◦u ◦ w = v ◦w ◦u
et v ◦ w ∈ C (u). Il en résulte que C (u) est une sous-algèbre de L (E).
Si deux endomorphismes u et v admettent une base commune de vecteurs propres B,
alors les matrices de u et de v dans la base B sont diagonales, et elles commutent de
manière évidente.Donc les endomorphismes u et v commutent.
Supposons réciproquement que u et v commutent et sont diagonalisables.
Soient l 1 , . . . , l p les valeurs propres distinctes de u, et soient E 1 , . . . , E p les sousespace propres associés. Chaque sous-espace E i est stable par v, et l’endomorphisme
v i induit par v sur E i est un endomorphisme diagonalisable. On peut donc trouver
une base B i de E i formée de vecteurs propres de v i , donc de v. Notons que les
vecteurs de la base B i sont aussi des vecteurs propres de u par définition. Comme
E est somme directe des sous-espaces E i , le système B = (B 1 , . . . , B p ) obtenu en
regroupant les vecteurs des bases B i est une base de E, et c’est une base commune
de vecteurs propres pour u et v.
Montrons plus généralement que si u 1 , . . . , u q sont q endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux, alors il existe une base de vecteurs propres commune à tous ces endomorphismes. On raisonne par récurrence sur q.
La propriété est vérifiée pour q = 1 et q = 2. Supposons la vérifié à l’ordre q, et soit
u q+1 un endomorphisme diagonalisable qui commute avec u 1 , . . . , u q .
Soient E 1 ,. . ., E p les sous-espaces propres de u q+1 . Ils sont stables par u 1 , . . . u q et
les endomorphismes induits par u 1 , . . . , u q sur chaque sous-espace E i commutent
et sont diagonalisables. Grâce à l’hypothèse de récurrence on peut trouver une base
B i de E i formée de vecteurs propres de u 1 , . . . , u q . Comme précédemment, la base
B = (B 1 , . . . , B p ) est une base commune de vecteurs propres pour u 1 , . . . , u q , u q+1 .
La propriété est donc vérifiée à l’ordre q + 1.
Exercice 7.46
Commutant d’un endomorphisme diagonalisable, très classique
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie n 2 et u ∈ L (E). On
note, C(u) = {v ∈L(E) | u ◦ v = v ◦ u}.
1) Montrer que C(u) est une sous-algèbre de L (E) contenant K [u].
2) Démontrer que si u admet n valeurs propres distinctes, alors on a l’égalité
C(u) = Vect(Id E , u, . . . , u
n−1 ).
3) On suppose que u est diagonalisable. Soient l 1 , . . . , l p les valeurs propres
deux à deux distinctes d’ordres de multiplicité respectifs m 1 , . . . , m p , et de
sous-espaces propres respectifs E 1 , . . . , E p .
Soit v ∈ L (E), montrer que v ∈ C(u) si et seulement si ∀k ∈ [[1 , p]], E k est
stable par v. En déduire dim C(u)).
1) On a u ◦ Id E = Id E ◦u = u donc Id E ∈ C(u). Si (v, w) ∈ C (u)
2 et (l, m) ∈ K
2 ,
alors u ◦ (lv + mw) = lu ◦ v + mu ◦ w = lv ◦ u + mw ◦ u = (lv + mw) ◦ u, et donc
(lv + mw) ∈ C (u) . Enfin si (v, w) ∈ C (u)
2 , alors u ◦v ◦ w = v ◦u ◦ w = v ◦w ◦u
et v ◦ w ∈ C (u). Il en résulte que C (u) est une sous-algèbre de L (E).