3) On a M = a 1 I n + a 2 J + · · · + a n J
n−1 = P(J ) avec P = a 1 + a 2 X + · · · + a n X
n−1 .
Comme J est diagonalisable, M l’est également, au moyen de la même matrice
de passage.
4) Le déterminant de M est le produit des valeurs propres donc det M =
n−1
k=0
P(e
i
2p
n k ).
Exercice 7.44
Centrale MP 2006
Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un C-espace vectoriel E de dimension n. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) il existe x ∈ E tel que (x, f (x), . . . , f
n−1 (x)) engendre E.
(2) f a toutes ses valeurs propres simples.
(3) (Id E , f , . . . , f
n−1 ) est libre.
(1)⇒(3). Si (Id
E
, f , . . . , f
n−1 ) est liée alors (x, f (x), . . . , f
n−1 (x)) aussi ce qui est
contradictoire.
(3)⇒(2). Si f n’a pas toutes ses valeurs propres simples alors p f =
l∈Sp(u)
(X − l)
est de degré strictement inférieur à n et on en déduit aisément que la famille
(Id
E
, f , . . . , f
n−1 ) est liée, ce qui contredit l’hypothèse.
(2)⇒(1). Soit (x k ) k∈[[1 ,n]] une base de vecteurs propres et soient l 1 , . . . , l n les valeurs
propres associées. Posons x =
n
k=1
x k . La matrice associée à la famille de vecteurs (x, f (x), . . . , f
n−1 (x)) dans la base (x k ) k∈[[1,n]] est la matrice de Vandermonde
V = (l
j−1
i
) 1i, jn . Comme les (l i ) sont distinctes la matrice V est inversible et
(x, f (x), . . . , f
n−1 (x)) est libre. Comme c’est une famille de n vecteurs, c’est une
base de E.
7.2.3 Commutant d’un endomorphisme
Exercice 7.45
Mines-Ponts MP 2005
Montrer que deux endomorphismes diagonalisables d’un espaces vectoriel de
dimension finie admettent une base commune de vecteurs propres si et seulement
s’ils commutent. Généraliser.
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