Exercice 7.43
Matrices circulantes, Centrale MP 2006
Soient J =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 1
0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · · · · 0 1
1 0 · · · · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 a 2 ... a n
a n a 1 ... a n−1
a n−1 a n ... a n−2
. . .
. . .
. . .
a 2 a 3 ... a 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
deux matrices de M n (C).
1) Expliciter J
k pour 1 k n − 1 et J
n .
Indication de la rédaction : on pourra calculer J e p pour p ∈ [[1 , n]] où
(e 1 , . . . , e n ) est la base canonique de K
n .
2) Montrer que la matrice J est diagonalisable et déterminer une base B de vecteurs propres de la matrice J .
3) Montrer que M est diagonalisable dans B.
4) Question de la rédaction : en déduire det(A).
1) Soit (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de C
n . On remarque que J e p = e p−1 pour
p ∈ [[2, n]] et J e 1 = e n . Ce phénomène cyclique permet de calculer J
k e p avec
k ∈ [[1, n − 1]] et p ∈ [[1, n]].
Si p > k, J
k e p = e p−k et si p k, J
k e p = J
k−( p−1) e 1 = J
k− p e n = e n−k+ p d’où
l’allure des matrices J
k pour 1 k n − 1 : J
k =
0 I n−k
I k
0
et J
n = I n .
2) Le polynôme X
n
− 1 est un polynôme annulateur de la matrice J et il est scindé
à racines simples dans C[X ] (ses racines sont les racines n-ième de l’unité). La
matrice J est donc diagonalisable et on a Sp(J ) ⊂ {v
k , k ∈ [[0, n − 1]]} avec
v = e
2ip
n .
Soit i ∈ [[1, n]].
Cherchons à résoudre le système J X = v
i X avec X =
t (x 1 , . . . , x n ). On obtient
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 2 = v
i x 1
x 3 = v
i x 2
. . .
x 1 = v
i x n
Les solutions sont de la forme
t (x 1 , . . . , x n ) = a
t (1, v
i , . . . , v
(n−1)i ) où a
est une constante complexe arbitraire. Ainsi v
i est une valeur propre de
J et le sous-espace propre associé est la droite vectorielle engendrée par
W i =
t (1, v
i , . . . , v
(n−1)i ). Une base de vecteur propre est donc B = (W 1 , . . . , W n ).
La matrice de passage de la base canonique à la base B est la matrice
Q = (v
j(i−1) ) 1i, jn . C’est une matrice de Vandermonde.