3) Déterminer le polynôme minimal de f et le polynôme caractéristique caractéristique de f .
4) A quelle condition f est-il diagonalisable ?
1) La matrice de f dans la base B est M P =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 . . . . . . 0 a 1
1
. . .
. . .
a 2
0 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 1 0 a n−1
0 . . . . . . 0 1 a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
2) On a d’une part f
n (e 1 ) = f (e n ) =
n
k=1
a k e k =
n
k=1
a k f
k−1 (e 1 ), et, pour
k ∈ [[0 , n − 1]], on a d’autre part f
k (e 1 ) = e k+1 .
Considérons le polynôme P = X
n
− a n X
n−1
− · · · − a 2 X − a 1 . La relation précédente s’écrit P( f )(e 1 ) = 0. Pour tout k ∈ [[1, n −1]] on a f
k
◦ P( f ) = P( f ) ◦ f
k ,
et on a donc f
k
◦ P( f )(e 1 ) = P( f )(e 1+k ) = 0. L’endomorphisme P( f ) est donc
l’endomorphisme nul, et P est un polynôme annulateur de f . Le polynôme minimal p f de f est donc un diviseur du polynôme P.
3) Soit d le degré du polynôme p f , et supposons d < n. On peut alors écrire
p f = X
d + b d−1 X
d−1 + · · · + b 1 X + b 0 et on a
f
d (e 1 )+b d−1 f
d−1 (e 1 )+· · ·+b 1 f (e 1 )+b 0 e 1 = e d+1 +b d−1 e d +· · ·+b 1 e 2 +b 0 e 1 = 0,
ce qui contredit le fait que B est une famille libre. On a donc d = n et puisque p f
divise P, on a P = p f .
Le polynôme minimal p f est aussi un diviseur du polynôme caractéristique x f
de f . Comme ils sont tout deux de degré n, on a x f = (−1)
n P.
4) Soit l une valeur propre de f , c’est-à-dire une racine de P. Comme les n − 1
premières colonnes de la matrice M P − lI n sont linéairement indépendantes, le
rang de M P − lI n supérieur ou égal à n − 1. Il est donc égal à n − 1 et les sousespaces propres sont des droites vectorielles. La matrice M P est diagonalisable si
et seulement si la somme de ses sous-espaces propres (qui, ici, sont des droites)
est l’espace tout entier donc si et seulement si P possède n racines distinctes.
Remarque
La matrice M P est appelée la matrice compagnon du polynôme P.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4) A quelle condition f est-il diagonalisable ?
1) La matrice de f dans la base B est M P =
⎛
⎜
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⎜
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⎝
0 0 . . . . . . 0 a 1
1
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. . .
a 2
0 1
. . .
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. . . 1 0 a n−1
0 . . . . . . 0 1 a n
⎞
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⎠
.
2) On a d’une part f
n (e 1 ) = f (e n ) =
n
k=1
a k e k =
n
k=1
a k f
k−1 (e 1 ), et, pour
k ∈ [[0 , n − 1]], on a d’autre part f
k (e 1 ) = e k+1 .
Considérons le polynôme P = X
n
− a n X
n−1
− · · · − a 2 X − a 1 . La relation précédente s’écrit P( f )(e 1 ) = 0. Pour tout k ∈ [[1, n −1]] on a f
k
◦ P( f ) = P( f ) ◦ f
k ,
et on a donc f
k
◦ P( f )(e 1 ) = P( f )(e 1+k ) = 0. L’endomorphisme P( f ) est donc
l’endomorphisme nul, et P est un polynôme annulateur de f . Le polynôme minimal p f de f est donc un diviseur du polynôme P.
3) Soit d le degré du polynôme p f , et supposons d < n. On peut alors écrire
p f = X
d + b d−1 X
d−1 + · · · + b 1 X + b 0 et on a
f
d (e 1 )+b d−1 f
d−1 (e 1 )+· · ·+b 1 f (e 1 )+b 0 e 1 = e d+1 +b d−1 e d +· · ·+b 1 e 2 +b 0 e 1 = 0,
ce qui contredit le fait que B est une famille libre. On a donc d = n et puisque p f
divise P, on a P = p f .
Le polynôme minimal p f est aussi un diviseur du polynôme caractéristique x f
de f . Comme ils sont tout deux de degré n, on a x f = (−1)
n P.
4) Soit l une valeur propre de f , c’est-à-dire une racine de P. Comme les n − 1
premières colonnes de la matrice M P − lI n sont linéairement indépendantes, le
rang de M P − lI n supérieur ou égal à n − 1. Il est donc égal à n − 1 et les sousespaces propres sont des droites vectorielles. La matrice M P est diagonalisable si
et seulement si la somme de ses sous-espaces propres (qui, ici, sont des droites)
est l’espace tout entier donc si et seulement si P possède n racines distinctes.
Remarque
La matrice M P est appelée la matrice compagnon du polynôme P.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit