Chap. 7. Réduction des endomorphismes
donc la famille (x, u(x)) est libre. On a de plus u
2 (x) = −au(x) − bx d’où on déduit
aisément que le plan vectoriel Vect(x, u(x)) est stable par u.
Exercice 7.41
Mines-Ponts MP 2007
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et R une partie de L(E) telle
que les seuls sous-espaces vectoriels stables par tous les éléments de R sont E
et {0}.
1) Soit f un élément de L(E). Montrer que si f commute avec tous les éléments
de R, alors f est une homothétie.
2) Ce résultat subsiste-t-il si E est un R-espace vectoriel ?
1) Comme le corps de base est C, l’endomorphisme f a au moins une valeur propre
l. Désignons par F le sous-espace propre de f associé. Comme chaque endomorphisme r ∈ R commute avec f , le sous-espace F est stable par tous les
endomorphismes r ∈ R. Comme F = {0}, il résulte de l’hypothèse que F = E.
L’endomorphisme f est donc l’homothétie de rapport l.
2) Donnons un contre-exemple dans le cas d’un R-espace vectoriel. Soient E un
espace vectoriel euclidien de dimension 2 et R l’ensemble des rotations de E. La
partie R vérifie les conditions de l’énoncé : soit en effet F = {0} un sous-espace
vectoriel stable par toutes les rotations r ∈ R, et soit x 0 un vecteur non nul de F.
Pour tout vecteur x non nul de E, il existe une rotation r telle que x =
x
x 0
r (x 0 ).
On a donc F = E.
Si f une rotation distincte de Id E et de − Id E , f n’est pas une homothétie, bien
qu’elle commute avec tous les éléments de R.
7.2.2 Endomorphismes cycliques et matrices compagnons
Exercice 7.42
Matrice compagnon, Centrale PSI 2006
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E.
On considère l’endomorphisme f de E défini par
∀i ∈ [[1 , n − 1]], f (e i ) = e i+1 et f (e n ) =
n
k=1
a k e k .
1) Déterminer la matrice de f dans la base B.
2) Calculer f
n (e 1 ) et en déduire un polynôme annulateur de f .