engendré par le vecteur (1, 0, 1). On peut donc prendre (a, b, c) = (1, 0, 1), et le
plan P 1 d’équation x + z = 0 est le seul plan stable par f .
2) Puisque u n’appartient pas à P 1 , la droite D 1 et le plan P 1 sont supplémentaires.
Donc tout sous-espace de R
3 stable par M admet un supplémentaire stable.
Exercice 7.39
Mines-Ponts MP 2005, Polytechnique MP 2007
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que u est
diagonalisable si et seulement si tout sous-espace stable par u admet un supplémentaire stable par u.
• Supposons que u est diagonalisable et soit B une base de vecteurs propres. Soit
F un sous-espace stable par u. Par le théorème de la base incomplète, on peut
compléter une base de F à l’aide de vecteurs choisis dans la base B. Le sousespace vectoriel engendré par ces vecteurs propres est un supplémentaire stable
par u.
• Supposons que tout sous-espace stable par u admet un supplémentaire stable par u.
L’endomorphisme u admet au moins une valeur propre car son polynôme caractéristique admet au moins une racine complexe. Par conséquent le sous-espace
F =
l∈Sp(u)
E l (u) n’est pas réduit à {0} et par définition il contient tous les vecteurs
propres de u. Considérons un supplémentaire G de F stable par u. Si G = {0},
l’endomorphisme induit u| G admet au moins un vecteur propre. Ce vecteur est
aussi un vecteur propre de u, ce qui est contradictoire. On a donc G = {0} d’où
E =
l∈Sp(u)
E l (u) et donc u est diagonalisable.
Exercice 7.40
Centrale MP 2006
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie n 1.
Montrer qu’il existe une droite ou un plan vectoriel stable.
Si u admet une valeur propre alors un vecteur propre associé engendre une droite
stable. Supposons que Sp(u) = ∅, alors le polynôme minimal p u est produit de polynômes irréductibles de R[X ] de degré 2. Il existe (a, b) ∈ R
2 tel que X
2 +aX +b | p u
avec a
2
− 4b < 0 et Ker(u
2 + au + b Id) = {0} sinon
p u
X 2 + aX + b
serait un polynôme annulateur de u.
Soit x ∈ Ker(u
2 + au + b Id) \ {0}. On sait que x n’est pas un vecteur propre de u
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
plan P 1 d’équation x + z = 0 est le seul plan stable par f .
2) Puisque u n’appartient pas à P 1 , la droite D 1 et le plan P 1 sont supplémentaires.
Donc tout sous-espace de R
3 stable par M admet un supplémentaire stable.
Exercice 7.39
Mines-Ponts MP 2005, Polytechnique MP 2007
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que u est
diagonalisable si et seulement si tout sous-espace stable par u admet un supplémentaire stable par u.
• Supposons que u est diagonalisable et soit B une base de vecteurs propres. Soit
F un sous-espace stable par u. Par le théorème de la base incomplète, on peut
compléter une base de F à l’aide de vecteurs choisis dans la base B. Le sousespace vectoriel engendré par ces vecteurs propres est un supplémentaire stable
par u.
• Supposons que tout sous-espace stable par u admet un supplémentaire stable par u.
L’endomorphisme u admet au moins une valeur propre car son polynôme caractéristique admet au moins une racine complexe. Par conséquent le sous-espace
F =
l∈Sp(u)
E l (u) n’est pas réduit à {0} et par définition il contient tous les vecteurs
propres de u. Considérons un supplémentaire G de F stable par u. Si G = {0},
l’endomorphisme induit u| G admet au moins un vecteur propre. Ce vecteur est
aussi un vecteur propre de u, ce qui est contradictoire. On a donc G = {0} d’où
E =
l∈Sp(u)
E l (u) et donc u est diagonalisable.
Exercice 7.40
Centrale MP 2006
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie n 1.
Montrer qu’il existe une droite ou un plan vectoriel stable.
Si u admet une valeur propre alors un vecteur propre associé engendre une droite
stable. Supposons que Sp(u) = ∅, alors le polynôme minimal p u est produit de polynômes irréductibles de R[X ] de degré 2. Il existe (a, b) ∈ R
2 tel que X
2 +aX +b | p u
avec a
2
− 4b < 0 et Ker(u
2 + au + b Id) = {0} sinon
p u
X 2 + aX + b
serait un polynôme annulateur de u.
Soit x ∈ Ker(u
2 + au + b Id) \ {0}. On sait que x n’est pas un vecteur propre de u
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit