Chap. 7. Réduction des endomorphismes
On peut se demander si réciproquement, étant donnés deux entiers p et q tels que
p + 2q = n, il existe une matrice A telle que A
3 = A + 6I n et det A = 2
p 3
q .
Soit A la matrice diagonale par blocs A = diag(2I p , B, . . . , B
q fois
) où B =
−2 3
−1 0
.
Le polynôme caractéristique de B est P B = X
2 + 2X + 3. On a donc P(B) = 0 et
P( A) = diag(P(2)I p , P(B), . . . , P(B)) = 0. De plus det A = 2
p (det B)
q = 2
p 3
q .
7.2.1 Sous-espaces stables
Exercice 7.38
TPE MP 2006
Soit M =
⎛
⎝
1 −1 1
1
0 0
0
1 0
⎞
⎠ .
1) Quels sont les sous-espaces de R
3 stables par M ?
2) Un sous-espace de R
3 stable par M admet-il toujours un supplémentaire stable
par M ?
1) On obtient facilement (par exemple à l’aide de la règle de Sarrus) le polynôme
caractéristique de M. On trouve x M (X ) = (X
2 + 1)(1 − X ). La matrice M admet
donc la seule valeur propre réelle 1, et son ordre de multiplicité est égal à 1. On
vérifie facilement que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est la droite
vectorielle engendrée par u = (1, 1, 1). Dans la suite nous désignerons par f l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice M.
Déterminons alors les sous-espaces de R
3 stable par f , autres que {0} et R
3 , c’està-dire de dimension 1 ou 2.
• Les droites vectorielles stables par f sont les droites vectorielles engendrées par
un vecteur propre de f . La droite vectorielle D 1 engendrée par u est donc la seule
droite vectorielle stable.
• Soit P un plan vectoriel de R
3 . Il peut être défini comme le noyau d’une forme
linéaire w définie sur R
3 par : ∀(x, y, z) ∈ R
3 , w(x, y, z) = ax + by + cz où a,
b et c sont trois réels non tous nuls. L’application w ◦ f est une forme linéaire
définie sur R
3 , et une condition nécessaire et suffisante pour que P soit stable
par f , est que le plan P = Ker w soit inclus dans le noyau de la forme linéaire
w ◦ f . On sait que cela équivaut à l’existence d’un l ∈ R tel que w ◦ f = lw.
Matriciellement cette condition s’écrit
a b c
M = l
a b c
, ou encore
t M
t
a b c
= l
t
a b c
. Ainsi l est une valeur propre de la matrice
t M et
t
a b c
est un vecteur propre associé. Comme M et
t M ont les mêmes valeurs
propres, on a l = 1, et on vérifie facilement que le sous-espace propre associé est
On peut se demander si réciproquement, étant donnés deux entiers p et q tels que
p + 2q = n, il existe une matrice A telle que A
3 = A + 6I n et det A = 2
p 3
q .
Soit A la matrice diagonale par blocs A = diag(2I p , B, . . . , B
q fois
) où B =
−2 3
−1 0
.
Le polynôme caractéristique de B est P B = X
2 + 2X + 3. On a donc P(B) = 0 et
P( A) = diag(P(2)I p , P(B), . . . , P(B)) = 0. De plus det A = 2
p (det B)
q = 2
p 3
q .
7.2.1 Sous-espaces stables
Exercice 7.38
TPE MP 2006
Soit M =
⎛
⎝
1 −1 1
1
0 0
0
1 0
⎞
⎠ .
1) Quels sont les sous-espaces de R
3 stables par M ?
2) Un sous-espace de R
3 stable par M admet-il toujours un supplémentaire stable
par M ?
1) On obtient facilement (par exemple à l’aide de la règle de Sarrus) le polynôme
caractéristique de M. On trouve x M (X ) = (X
2 + 1)(1 − X ). La matrice M admet
donc la seule valeur propre réelle 1, et son ordre de multiplicité est égal à 1. On
vérifie facilement que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est la droite
vectorielle engendrée par u = (1, 1, 1). Dans la suite nous désignerons par f l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice M.
Déterminons alors les sous-espaces de R
3 stable par f , autres que {0} et R
3 , c’està-dire de dimension 1 ou 2.
• Les droites vectorielles stables par f sont les droites vectorielles engendrées par
un vecteur propre de f . La droite vectorielle D 1 engendrée par u est donc la seule
droite vectorielle stable.
• Soit P un plan vectoriel de R
3 . Il peut être défini comme le noyau d’une forme
linéaire w définie sur R
3 par : ∀(x, y, z) ∈ R
3 , w(x, y, z) = ax + by + cz où a,
b et c sont trois réels non tous nuls. L’application w ◦ f est une forme linéaire
définie sur R
3 , et une condition nécessaire et suffisante pour que P soit stable
par f , est que le plan P = Ker w soit inclus dans le noyau de la forme linéaire
w ◦ f . On sait que cela équivaut à l’existence d’un l ∈ R tel que w ◦ f = lw.
Matriciellement cette condition s’écrit
a b c
M = l
a b c
, ou encore
t M
t
a b c
= l
t
a b c
. Ainsi l est une valeur propre de la matrice
t M et
t
a b c
est un vecteur propre associé. Comme M et
t M ont les mêmes valeurs
propres, on a l = 1, et on vérifie facilement que le sous-espace propre associé est