Le polynôme P = X
3 + X
2 + X = X (X − j)(X − j
2 ) est scindé et à racines simples
dans C[X ], donc A est diagonalisable dans M n (C) et Sp C (A) = {0, j, j
2
}.
Si A est la matrice nulle, alors son rang est nul, et il est pair. On suppose dans la suite
A = 0.
Puisque A est réelle, son polynôme caractéristique est nécessairement à coefficients
réels. En outre A étant non nulle, j et j sont les valeurs propres complexes de A
et elles ont le même ordre de multiplicité. Si f est l’endomorphisme de E = C
n
associé canoniquement à A, on a alors dim Ker( f − j Id E ) = dim Ker( f − j Id E ).
Comme A est diagonalisable, on a C
n = Ker f ⊕ Ker( f − j Id E ) ⊕ Ker( f − j Id E ).
On en déduit du théorème du rang
rg A = n − dim Ker f = dim Ker( f − j Id E ) + dim Ker( f − j Id E ),
et donc rg A = 2 dim Ker( f − j Id E ). Ainsi, le rang de A est pair.
Exercice 7.36
Mines-Ponts MP 2006
Soit A ∈ GL 6 (R) vérifiant A
3
− 3A
2 + 2A = 0 et tr(A) = 8. Déterminer le
polynôme caractéristique de A.
Remarquons d’abord que puisque A est inversible, on a aussi A
2
− 3A + 2I 6 = 0. Le
polynôme P = X
2
− 3X + 2 = (X − 2)(X − 1) est donc un polynôme annulateur
de A et comme il est scindé et à racines simples dans R[X ], A est diagonalisable
dans M 6 (R). De plus les valeurs propres de A appartiennent à {1, 2}. Désignons par
a (resp. b) l’ordre de multiplicité de la valeur propre 1 (resp. 2) (avec la convention
que a = 0 si 1 n’est pas valeur propre, et b = 0 si 2 n’est pas valeur propre). On a
alors a + b = 6 et a + 2b = tr(A) = 8. On en déduit que b = 2 et a = 4, puis que le
polynôme caractéristique de A est x A (X ) = (X − 1)
4 (X − 2)
2 .
Exercice 7.37
Mines-Ponts MP 2007
Soit n ∈ N
∗ et A ∈ M n (R) telle que A
3 = A + 6I n . Que peut-on dire de det A ?
Le polynôme P = X
3
− X − 6 est un polynôme annulateur de A et il est scindé et à
racine simple dans C[X ] :
P = (X − 2)(X
2 + 2X + 3) = (X − 2)(X + 1 + i
√
2)(X + 1 − i
√
2).
Il en résulte A est diagonalisable dans M n (C) et que les racines complexes du polynôme caractéristique P A de A appartiennent à {−2, −1 + i
√
2, −1 − i
√
2}. De plus
si r = −1 + i
√
2 est racine d’ordre q de P A , alors r = −1 − i
√
2 est aussi racine
d’ordre q de P A . Désignons par p l’ordre de multiplicité de la valeur propre 2 (avec
les conventions que p = 0 si 2 n’est pas une racine de P A et que q = 0 si r n’est pas
racine de P A ). On a alors det A = 2
p (rr )
q = 2
p 3
q , avec p + 2q = n.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3 + X
2 + X = X (X − j)(X − j
2 ) est scindé et à racines simples
dans C[X ], donc A est diagonalisable dans M n (C) et Sp C (A) = {0, j, j
2
}.
Si A est la matrice nulle, alors son rang est nul, et il est pair. On suppose dans la suite
A = 0.
Puisque A est réelle, son polynôme caractéristique est nécessairement à coefficients
réels. En outre A étant non nulle, j et j sont les valeurs propres complexes de A
et elles ont le même ordre de multiplicité. Si f est l’endomorphisme de E = C
n
associé canoniquement à A, on a alors dim Ker( f − j Id E ) = dim Ker( f − j Id E ).
Comme A est diagonalisable, on a C
n = Ker f ⊕ Ker( f − j Id E ) ⊕ Ker( f − j Id E ).
On en déduit du théorème du rang
rg A = n − dim Ker f = dim Ker( f − j Id E ) + dim Ker( f − j Id E ),
et donc rg A = 2 dim Ker( f − j Id E ). Ainsi, le rang de A est pair.
Exercice 7.36
Mines-Ponts MP 2006
Soit A ∈ GL 6 (R) vérifiant A
3
− 3A
2 + 2A = 0 et tr(A) = 8. Déterminer le
polynôme caractéristique de A.
Remarquons d’abord que puisque A est inversible, on a aussi A
2
− 3A + 2I 6 = 0. Le
polynôme P = X
2
− 3X + 2 = (X − 2)(X − 1) est donc un polynôme annulateur
de A et comme il est scindé et à racines simples dans R[X ], A est diagonalisable
dans M 6 (R). De plus les valeurs propres de A appartiennent à {1, 2}. Désignons par
a (resp. b) l’ordre de multiplicité de la valeur propre 1 (resp. 2) (avec la convention
que a = 0 si 1 n’est pas valeur propre, et b = 0 si 2 n’est pas valeur propre). On a
alors a + b = 6 et a + 2b = tr(A) = 8. On en déduit que b = 2 et a = 4, puis que le
polynôme caractéristique de A est x A (X ) = (X − 1)
4 (X − 2)
2 .
Exercice 7.37
Mines-Ponts MP 2007
Soit n ∈ N
∗ et A ∈ M n (R) telle que A
3 = A + 6I n . Que peut-on dire de det A ?
Le polynôme P = X
3
− X − 6 est un polynôme annulateur de A et il est scindé et à
racine simple dans C[X ] :
P = (X − 2)(X
2 + 2X + 3) = (X − 2)(X + 1 + i
√
2)(X + 1 − i
√
2).
Il en résulte A est diagonalisable dans M n (C) et que les racines complexes du polynôme caractéristique P A de A appartiennent à {−2, −1 + i
√
2, −1 − i
√
2}. De plus
si r = −1 + i
√
2 est racine d’ordre q de P A , alors r = −1 − i
√
2 est aussi racine
d’ordre q de P A . Désignons par p l’ordre de multiplicité de la valeur propre 2 (avec
les conventions que p = 0 si 2 n’est pas une racine de P A et que q = 0 si r n’est pas
racine de P A ). On a alors det A = 2
p (rr )
q = 2
p 3
q , avec p + 2q = n.
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