Chap. 7. Réduction des endomorphismes
◦ Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 0. Comme l’endomorphisme f de E = C
n associé canoniquement à A est de rang n − 1, le noyau
de f est une droite vectorielle engendrée par le vecteur
t U = (x 1 , . . . , x n ). Pour
tout i ∈ {1, . . . , n}, le vecteur
t V i appartient à Ker f , et il existe donc l i tel
que V i = l i U . Alors si L = (l 1 , . . . , l n ), on a B = U L. En particulier
BU = U LU . Mais LU =
n
i=1
l i x i , donc BU =
n
i=1
l i x i
U et U est un
vecteur propre de B, associé à la valeur propre
n
i=1
l i x i .
◦ Soit U un vecteur propre de A associé une valeur propre non nulle l. On a
AU = lU , donc 0 = B AU = lBU , et on en déduit BU = 0. Il en résulte que
U est un vecteur propre de B associé à la valeur propre 0.
Exercice 7.34
Centrale MP 2007
Soit M ∈ GL n (K). Montrer que M
−1 est un polynôme en M.
Nous allons donner deux méthodes distinctes.
Première méthode :
Utilisons le polynôme caractéristique x M = (−1)
n X
n + a n−1 X
n−1 + · · · + a 1 X + a 0
de M. On a a 0 = det(M) = 0. D’après le théorème de Cayley-Hamilton on a
(−1)
n M
n + a n−1 M
n−1 + · · · + a 1 M + a 0 I n = 0, d’où :
M((−1)
n M
n−1 + a n−1 M
n−2 + · · · + a 1 I n ) = −a 0 I n .
On en déduit que M
−1 = −
1
a 0
(−1)
n M
n−1 + a n−1 M
n−2 + · · · + a 1 I n
.
Deuxième méthode :
On considère l’endomorphisme F de l’espace vectoriel M n (K) défini pour tout
X ∈ M n (K) par F(X ) = M X. Le sous-espace vectoriel F de M n (K) engendré
par (I n , M, . . . , M
k , . . . ) est stable par F, et ses éléments sont les polynômes en M.
Désignons par F 1 l’endomorphisme induit par F sur F. Puisque M est inversible,
l’endomorphisme F 1 est injectif, et puisque F est un espace vectoriel de dimension
finie, il est aussi surjectif. Il existe donc un élément M
de F, c’est-à-dire un polynôme en M, tel que F 1 (M
) = M M
= I n . On en déduit que M
−1 = M
.
Exercice 7.35
Mines-Ponts MP 2006
Soit A ∈ M n (R) telle que A
3 + A
2 + A = 0. Montrer que le rang de A est pair.
◦ Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 0. Comme l’endomorphisme f de E = C
n associé canoniquement à A est de rang n − 1, le noyau
de f est une droite vectorielle engendrée par le vecteur
t U = (x 1 , . . . , x n ). Pour
tout i ∈ {1, . . . , n}, le vecteur
t V i appartient à Ker f , et il existe donc l i tel
que V i = l i U . Alors si L = (l 1 , . . . , l n ), on a B = U L. En particulier
BU = U LU . Mais LU =
n
i=1
l i x i , donc BU =
n
i=1
l i x i
U et U est un
vecteur propre de B, associé à la valeur propre
n
i=1
l i x i .
◦ Soit U un vecteur propre de A associé une valeur propre non nulle l. On a
AU = lU , donc 0 = B AU = lBU , et on en déduit BU = 0. Il en résulte que
U est un vecteur propre de B associé à la valeur propre 0.
Exercice 7.34
Centrale MP 2007
Soit M ∈ GL n (K). Montrer que M
−1 est un polynôme en M.
Nous allons donner deux méthodes distinctes.
Première méthode :
Utilisons le polynôme caractéristique x M = (−1)
n X
n + a n−1 X
n−1 + · · · + a 1 X + a 0
de M. On a a 0 = det(M) = 0. D’après le théorème de Cayley-Hamilton on a
(−1)
n M
n + a n−1 M
n−1 + · · · + a 1 M + a 0 I n = 0, d’où :
M((−1)
n M
n−1 + a n−1 M
n−2 + · · · + a 1 I n ) = −a 0 I n .
On en déduit que M
−1 = −
1
a 0
(−1)
n M
n−1 + a n−1 M
n−2 + · · · + a 1 I n
.
Deuxième méthode :
On considère l’endomorphisme F de l’espace vectoriel M n (K) défini pour tout
X ∈ M n (K) par F(X ) = M X. Le sous-espace vectoriel F de M n (K) engendré
par (I n , M, . . . , M
k , . . . ) est stable par F, et ses éléments sont les polynômes en M.
Désignons par F 1 l’endomorphisme induit par F sur F. Puisque M est inversible,
l’endomorphisme F 1 est injectif, et puisque F est un espace vectoriel de dimension
finie, il est aussi surjectif. Il existe donc un élément M
de F, c’est-à-dire un polynôme en M, tel que F 1 (M
) = M M
= I n . On en déduit que M
−1 = M
.
Exercice 7.35
Mines-Ponts MP 2006
Soit A ∈ M n (R) telle que A
3 + A
2 + A = 0. Montrer que le rang de A est pair.