De plus, pour tout P ∈ K [X ] on a u ◦ P (u) = P (u) ◦ u et donc K [u] ⊂ C (u).
2) Soient l 1 , . . . , l n les valeurs propres de u. On a E =
n
k=1
E l k (u) et les E l k (u)
sont des droites engendrées par des vecteurs propres (x k ) k∈[[1,n]] qui forment une
base. Soit v ∈ L(E) commutant avec u. Alors les droites E l k (u) sont stables par
v donc les vecteurs (x k ) k∈[[1,n]] sont des vecteurs propres de v également. Ainsi la
famille B = (x k ) k∈[[1 ,n]] est une base formée de vecteurs propres de u et de v..
Montrons maintenant que v est un polynôme en u (de degré n − 1). Soient
D = (l 1 , . . . , l n ) (resp. D
= (l
1 , . . . , l
n )) la matrice de u (resp. v) dans la base
B. Comme les l i sont distincts, il existe un polynôme P de degré inférieur ou
égal à n − 1 tel que P(l i ) = l
i pour tout i ∈ [[1, n]] (polynôme d’interpolation de
Lagrange). On a alors D
= P(D), et donc v = P(u).
3) Traitons maintenant le cas général. On sait que si v ∈ C(u), alors les sousespaces propres E k sont stables par v. Réciproquement supposons les sousespaces E k stables par v et pour tout k ∈ [[1, p]] soit B k une base du sous-espace
propre E k . Soit B = (B 1 , . . . , B p ) la base de E obtenue par juxtaposition. La
matrice de v dans la base B est une matrice diagonale par blocs de la forme
(1) V = (M 1 , . . . , M k ) où M k ∈ M m k (K). La matrice u dans cette même base
est de la forme U = (l 1 I m 1 , . . . , l p I m k ). Les matrices U et V commutent, et il en
résulte que u et v commutent.
Enfin l’application de l’espace vectoriel C(u) dans l’espace vectoriel M n (K) est
un isomorphisme de C(u) sur le sous-espace vectoriel F de M n (K) formé des
matrices de la forme (1). Il en résulte que :
dim (C (u)) = dim(F) = dim
M m 1 (K) × · · · × M m p (K)
=
p
k=1
m
2
k .
Ce que l’on peut retenir
• Deux endomorphismes diagonalisables commutent si et seulement si ils sont
co-diagonalisables, c’est-à-dire admettent une base commune de vecteurs
propres.
• Soit u un endomorphisme diagonalisable à valeurs propres simples, et soit v un
endomorphisme qui commute avec u. Toute base de vecteurs propres de u est
une base de vecteurs propres de v.
7.2.4 Endomorphismes nilpotents
Exercice 7.47
Centrale MP 2006, endomorphismes nilpotents d’indice maximal
Soit E un espace vectoriel sur C de dimension finie n 1 et u ∈ L(E). Lorsque,
pour un certain p ∈ N, u
p = 0 et u
p−1
= 0, on dit que u est nilpotent d’indice p.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2) Soient l 1 , . . . , l n les valeurs propres de u. On a E =
n
k=1
E l k (u) et les E l k (u)
sont des droites engendrées par des vecteurs propres (x k ) k∈[[1,n]] qui forment une
base. Soit v ∈ L(E) commutant avec u. Alors les droites E l k (u) sont stables par
v donc les vecteurs (x k ) k∈[[1,n]] sont des vecteurs propres de v également. Ainsi la
famille B = (x k ) k∈[[1 ,n]] est une base formée de vecteurs propres de u et de v..
Montrons maintenant que v est un polynôme en u (de degré n − 1). Soient
D = (l 1 , . . . , l n ) (resp. D
= (l
1 , . . . , l
n )) la matrice de u (resp. v) dans la base
B. Comme les l i sont distincts, il existe un polynôme P de degré inférieur ou
égal à n − 1 tel que P(l i ) = l
i pour tout i ∈ [[1, n]] (polynôme d’interpolation de
Lagrange). On a alors D
= P(D), et donc v = P(u).
3) Traitons maintenant le cas général. On sait que si v ∈ C(u), alors les sousespaces propres E k sont stables par v. Réciproquement supposons les sousespaces E k stables par v et pour tout k ∈ [[1, p]] soit B k une base du sous-espace
propre E k . Soit B = (B 1 , . . . , B p ) la base de E obtenue par juxtaposition. La
matrice de v dans la base B est une matrice diagonale par blocs de la forme
(1) V = (M 1 , . . . , M k ) où M k ∈ M m k (K). La matrice u dans cette même base
est de la forme U = (l 1 I m 1 , . . . , l p I m k ). Les matrices U et V commutent, et il en
résulte que u et v commutent.
Enfin l’application de l’espace vectoriel C(u) dans l’espace vectoriel M n (K) est
un isomorphisme de C(u) sur le sous-espace vectoriel F de M n (K) formé des
matrices de la forme (1). Il en résulte que :
dim (C (u)) = dim(F) = dim
M m 1 (K) × · · · × M m p (K)
=
p
k=1
m
2
k .
Ce que l’on peut retenir
• Deux endomorphismes diagonalisables commutent si et seulement si ils sont
co-diagonalisables, c’est-à-dire admettent une base commune de vecteurs
propres.
• Soit u un endomorphisme diagonalisable à valeurs propres simples, et soit v un
endomorphisme qui commute avec u. Toute base de vecteurs propres de u est
une base de vecteurs propres de v.
7.2.4 Endomorphismes nilpotents
Exercice 7.47
Centrale MP 2006, endomorphismes nilpotents d’indice maximal
Soit E un espace vectoriel sur C de dimension finie n 1 et u ∈ L(E). Lorsque,
pour un certain p ∈ N, u
p = 0 et u
p−1
= 0, on dit que u est nilpotent d’indice p.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit