n
j=1
x j
j
= n
x 1
1
= . . . = n
x n
n
. On voit ainsi que
t (1, 2, . . . , n) est vecteur propre
de valeur propre n. Enfin Ker A = E 0 ( A) est l’hyperplan d’équation
n
k=1
x k
k
= 0.
Exercice 7.30
Mines-Ponts MP 2007, Centrale PSI 2007
Soient n 3 et a 1 , . . . , a n des réels non tous nuls.
On pose A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0 . . .
0
a 1
. . .
. . .
. . .
0 . . .
0
a n−1
a 1 . . . a n−1 a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Déterminer les valeurs propres de A et son polynôme caractéristique. Est-elle
diagonalisable ?
Indication de la rédaction : discuter suivant le rang de A pour déterminer un
polynôme annulateur de A.
Il y a deux cas à distinguer :
• Lorsque a 1 = · · · = a n−1 = 0 et a n = 0, la matrice est diagonale et de rang 1.
Elle admet deux valeurs propres : 0 d’ordre n − 1 et a n d’ordre 1 et le polynôme
caractéristique vaut alors det(A − X I n ) = (−X )
n−1 (a n − X ).
• Supposons que l’un des réels a k , où k ∈ [[1 , n − 1]], est non nul, notons le
a s . Soit f l’endomorphisme de R
n représenté par A dans la base canonique
B = (e 1 , . . . , e n ).
◦ Déterminons le rang de f . Pour k ∈ {1, . . . , n − 1} on a f (e k ) = a k e n . Les
vecteurs f (e 1 ), . . . , f (e n−1 ) sont donc colinéaires, et f (e s ) = a s e n n’est pas
nul, donc e n appartient à Im f . Par ailleurs f (e n ) = a 1 e 1 + · · · + a s e s + · · · + a n e n
n’est pas colinéaire à e n . Il en résulte que Im f est de dimension 2 et admet pour
base (e n , f (e n )), donc Ker f est de dimension n − 2.
◦ Déterminons à présent un polynôme annulateur de f .
En posant s =
n−1
k=1
a
2
k , on a tout d’abord f
2 (e n ) =
n
k=1
a k f (e k ) = se n +a n f (e n )
puis f
3 (e n ) = s f (e n ) + a n f
2 (e n ) = (s + a
2
n ) f (e n ) + sa n e n . On en déduit que
f
3 (e n ) − a n f
2 (e n ) = s f (e n ). D’autre part, pour k ∈ {1, . . . , n − 1}, on a
f
2 (e k ) = a k f (e n ) et f
3 (e k ) = a k f
2 (e n ) = a k a n f (e n ) + sa k e n , et là aussi
f
3 (e k ) − a n f
2 (e k ) = s f (e k ). Il en résulte que le polynôme P = X
3
− a n X
2
− s
est annulateur et admet pour racines non nulles : l 1 =
a n +
a 2
n + 4s
2
et
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
j=1
x j
j
= n
x 1
1
= . . . = n
x n
n
. On voit ainsi que
t (1, 2, . . . , n) est vecteur propre
de valeur propre n. Enfin Ker A = E 0 ( A) est l’hyperplan d’équation
n
k=1
x k
k
= 0.
Exercice 7.30
Mines-Ponts MP 2007, Centrale PSI 2007
Soient n 3 et a 1 , . . . , a n des réels non tous nuls.
On pose A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0 . . .
0
a 1
. . .
. . .
. . .
0 . . .
0
a n−1
a 1 . . . a n−1 a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Déterminer les valeurs propres de A et son polynôme caractéristique. Est-elle
diagonalisable ?
Indication de la rédaction : discuter suivant le rang de A pour déterminer un
polynôme annulateur de A.
Il y a deux cas à distinguer :
• Lorsque a 1 = · · · = a n−1 = 0 et a n = 0, la matrice est diagonale et de rang 1.
Elle admet deux valeurs propres : 0 d’ordre n − 1 et a n d’ordre 1 et le polynôme
caractéristique vaut alors det(A − X I n ) = (−X )
n−1 (a n − X ).
• Supposons que l’un des réels a k , où k ∈ [[1 , n − 1]], est non nul, notons le
a s . Soit f l’endomorphisme de R
n représenté par A dans la base canonique
B = (e 1 , . . . , e n ).
◦ Déterminons le rang de f . Pour k ∈ {1, . . . , n − 1} on a f (e k ) = a k e n . Les
vecteurs f (e 1 ), . . . , f (e n−1 ) sont donc colinéaires, et f (e s ) = a s e n n’est pas
nul, donc e n appartient à Im f . Par ailleurs f (e n ) = a 1 e 1 + · · · + a s e s + · · · + a n e n
n’est pas colinéaire à e n . Il en résulte que Im f est de dimension 2 et admet pour
base (e n , f (e n )), donc Ker f est de dimension n − 2.
◦ Déterminons à présent un polynôme annulateur de f .
En posant s =
n−1
k=1
a
2
k , on a tout d’abord f
2 (e n ) =
n
k=1
a k f (e k ) = se n +a n f (e n )
puis f
3 (e n ) = s f (e n ) + a n f
2 (e n ) = (s + a
2
n ) f (e n ) + sa n e n . On en déduit que
f
3 (e n ) − a n f
2 (e n ) = s f (e n ). D’autre part, pour k ∈ {1, . . . , n − 1}, on a
f
2 (e k ) = a k f (e n ) et f
3 (e k ) = a k f
2 (e n ) = a k a n f (e n ) + sa k e n , et là aussi
f
3 (e k ) − a n f
2 (e k ) = s f (e k ). Il en résulte que le polynôme P = X
3
− a n X
2
− s
est annulateur et admet pour racines non nulles : l 1 =
a n +
a 2
n + 4s
2
et
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit