Exercice 7.28
ENSAM PSI 2006
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0
a 1 0 0
b c 2 0
d e f 2
⎞
⎟
⎟
⎠
soit diagonalisable.
Comme A est triangulaire (inférieure), on lit les valeurs propres avec leur multiplicité sur la diagonale : les valeurs propres sont 1 et 2 et elles sont doubles. Pour que la
matrice A soit diagonalisable, il faut et il suffit que dim E 1 (A) = dim(Ker( A−I 4 )) = 2
et dim E 2 (A) = dim(Ker( A − 2I 4 )) = 2.
Par le théorème du rang, ceci est équivalent à rg(A − I 4 ) = 2 et rg(A − 2I 4 ) = 2.
Comme A − I 4 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 0 0
a 0 0 0
b c 1 0
d e f 1
⎞
⎟
⎟
⎠ , son rang est égal à 2 si et seulement si a = 0.
De même le rang de A − 2I 4 est égal à 2 si et seulement si f = 0.
Conclusion : la matrice A est diagonalisable si et seulement si a = f = 0.
Exercice 7.29
TPE MP 2006, Centrale MP 2007
Soit A ∈ M n (K) une matrice de rang 1.
1) Montrer que A est annulée par un polynôme de degré inférieur ou égal à deux.
2) En déduire que si tr A = 0, alors A est diagonalisable. Que dire si tr A = 0 ?
3) Application : Montrer que la matrice A = (i / j) 1i, jn est diagonalisable et
trouver ses éléments propres.
1) On sait qu’il existe deux vecteurs colonnes X et Y non nuls tels que A = X
t
Y . Il
en résulte que A
2 = X
t
Y X
t
Y =
t
Y X A = (tr A)A.
2) Si tr A = 0, alors X
2
− (tr A)X est un polynôme annulateur de A scindé à racines
simples, donc A est diagonalisable.
Si tr A = 0, alors A
2 = 0 et A = 0 car elle est de rang 1, donc A n’est pas
diagonalisable.
3) On suppose A =
i/ j
1i, jn
. Toutes les colonnes de A sont proportionnelles
à la première (qui est non nulle) donc rg A = 1. De plus, tr A = n = 0 donc
A est diagonalisable. Soit X =
t
(x 1 , . . . , x n ). L’équation AX = n X donne
ENSAM PSI 2006
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0
a 1 0 0
b c 2 0
d e f 2
⎞
⎟
⎟
⎠
soit diagonalisable.
Comme A est triangulaire (inférieure), on lit les valeurs propres avec leur multiplicité sur la diagonale : les valeurs propres sont 1 et 2 et elles sont doubles. Pour que la
matrice A soit diagonalisable, il faut et il suffit que dim E 1 (A) = dim(Ker( A−I 4 )) = 2
et dim E 2 (A) = dim(Ker( A − 2I 4 )) = 2.
Par le théorème du rang, ceci est équivalent à rg(A − I 4 ) = 2 et rg(A − 2I 4 ) = 2.
Comme A − I 4 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 0 0
a 0 0 0
b c 1 0
d e f 1
⎞
⎟
⎟
⎠ , son rang est égal à 2 si et seulement si a = 0.
De même le rang de A − 2I 4 est égal à 2 si et seulement si f = 0.
Conclusion : la matrice A est diagonalisable si et seulement si a = f = 0.
Exercice 7.29
TPE MP 2006, Centrale MP 2007
Soit A ∈ M n (K) une matrice de rang 1.
1) Montrer que A est annulée par un polynôme de degré inférieur ou égal à deux.
2) En déduire que si tr A = 0, alors A est diagonalisable. Que dire si tr A = 0 ?
3) Application : Montrer que la matrice A = (i / j) 1i, jn est diagonalisable et
trouver ses éléments propres.
1) On sait qu’il existe deux vecteurs colonnes X et Y non nuls tels que A = X
t
Y . Il
en résulte que A
2 = X
t
Y X
t
Y =
t
Y X A = (tr A)A.
2) Si tr A = 0, alors X
2
− (tr A)X est un polynôme annulateur de A scindé à racines
simples, donc A est diagonalisable.
Si tr A = 0, alors A
2 = 0 et A = 0 car elle est de rang 1, donc A n’est pas
diagonalisable.
3) On suppose A =
i/ j
1i, jn
. Toutes les colonnes de A sont proportionnelles
à la première (qui est non nulle) donc rg A = 1. De plus, tr A = n = 0 donc
A est diagonalisable. Soit X =
t
(x 1 , . . . , x n ). L’équation AX = n X donne