On peut vérifier le résultat à l’aide de la commande evalm(P&*T&*inverse(P)).
On retrouve bien la matrice A.
7.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 7.27
TPE MP 2006
Soient n 2 et f l’endomorphisme qui à toute matrice M ∈ M n (C) associe
tr(M)I n − M, où I n désigne la matrice identité.
1) Calculer f
2 et en déduire que f est diagonalisable.
2) Déterminer les valeurs et sous-espaces propres de f.
3) Calculer la trace et le déterminant de f.
4) Calculer le polynôme caractéristique de f.
5) Montrer que f est inversible et déterminer f
−1 .
1) Pour tout M ∈ M n (C),
f
2 (M) = tr(f(M))I n − f(M) = (n − 1) tr (M) I n − (tr(M)I n − M)
= (n − 2) (tr(M)I n − M) + (n − 1)M = (n − 2)f(M) + (n − 1)M.
Le polynôme P = X
2
− (n − 2)X − (n − 1) = (X + 1) (X − n + 1) est scindé à
racines simples et c’est un polynôme annulateur de f, donc f est diagonalisable.
2) Pour n 2, f n’est visiblement pas une homothétie donc f admet pour valeur
propre −1 et n − 1. Remarquons que M ∈ E −1 (f) ⇔ tr(M)I n = 0 donc
E −1 (M) = {M ∈ M n (C) | tr(M) = 0} , il s’agit d’un hyperplan (dimension
n
2
− 1). Le second sous-espace propre est donc une droite. On vérifie aisément
que f(I n ) = (n − 1)I n donc E n−1 (M) = Vect(I n ).
3) La trace de f est égale à la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité : tr f =
n
2
− 1
× (−1) + (n − 1) = −n(n − 1).
De même, le déterminant de f est égal au produit des valeurs propres comptées
avec leur multiplicité : det f = (−1)
n
2 −1
× (n − 1) = (−1)
n−1 (n − 1) (n
2 a même
parité que n).
4) Le polynôme caractéristique est x f (X ) = (−1 − X )
n
2 −1 (n − 1 − X ).
5) f est inversible puisque det f = 0. On détermine f
−1 grâce au polynôme annulateur, en effet
f
2
− (n − 2)f − (n − 1) Id = 0 donc f − (n − 2) Id −(n − 1)f
−1 = 0.
Il vient f
−1 =
1
n − 1
(f − (n − 2) Id). Pour tout M ∈ M n (C),
f
−1 (M) =
1
n − 1
(tr(M)I n − (n − 1)M) .
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