Exercice 7.26
Centrale PSI
On considère la matrice A =
⎛
⎝
6 −6 5
−4 −1 10
7 −6 4
⎞
⎠ .
1) Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de A.
2) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A. La matrice
est-elle diagonalisable ?
3) Déterminer une matrice triangulaire T et une matrice inversible P telle que
P
−1 AP = T .
Nous donnons la solution à l’aide de Maple. Nous commençons par charger le
module linalg qui comporte de nombreuses instructions relatives aux matrices :
with(linalg).
Commençons par définir la matrice A :
A :=matrix(3,3,[6,-6,5,-4,-1,10,7,-6,4]) ;
1) On obtient le polynôme caractéristique et le polynôme minimal à l’aide des instructions charpoly et minpoly :
charpoly(A,x) = x
3
− 9x
2 + 15x + 25.
minpoly(A,x) = x
3
− 9x
2 + 15x + 25.
(Attention charpoly(A,x) retourne le déterminant de la matrice x I n − A.)
2) On obtient les valeurs propres à l’aide de l’instruction eigenvals(A). Maple
retourne : −1, 5, 5. La valeur propre −1 est simple tandis que la valeur propre 5
est double.
Les sous-espaces propres sont obtenus à l’aide de la commande eigenvects(A).
On obtient
[5, 2, ([1, 1, 1])], [−1, 1, [5/2, 15/4, 1])].
On retrouve le fait que 5 est valeur propre double. Une base du sous-espace propre
associé est formé du seul vecteur [1, 1, 1]. Il est donc de dimension 1. La matrice
A n’est pas diagonalisable. L’ordre de multiplicité de la valeur propre −1 est égal
à 1, et le sous-espace propre est la droite vectorielle engendrée par le vecteur
[5/2, 12/4, 1].
3) On utilise la commande T :=jordan(A,’P’).
Elle retourne T =
⎡
⎣
−1 0 0
0 5 1
0 0 5
⎤
⎦ . Avec la commande P :=evalm(P) on obtient
la matrice de passage P =
⎡
⎣
5/3 11 −2/3
5/2 11 −5/2
2/3 11 −2/3
⎤
⎦ .