3) Résolvons alors l’équation X
2 + X = A. En multipliant les deux membres par P
à gauche et P
−1 à droite, elle est équivalente à (P X P
−1 )
2 + (P X P
−1 ) = P AP
−1 ,
c’est-à dire à P X P
−1
∈ Y. Les solutions de (1) sont donc les matrices de la
forme X = P
−1 Y P, avec Y ∈ Y. On obtient ainsi les huit matrices de la forme
X =
⎛
⎝
a 0
0
0 b b − c
0 0
c
⎞
⎠ , avec a ∈ {−3, 2}, b ∈ {−2, 1} et c ∈ {−1, 0}.
Exercice 7.25
Mines-Ponts MP 2007
On considère trois suites réelles (u n ) n0 , (v n ) n0 et (w n ) n0 vérifiant, pour tout
n ∈ N, u n+1 = −u n + v n + w n , v n+1 = u n − v n + w n , w n+1 = u n + v n − w n .
Exprimer u n , v n et w n en fonction de n et trouver une condition nécessaire et
suffisante sur (u 0 , v 0 , w 0 ) pour que ces trois suites convergent.
Posons X n =
⎛
⎝
u n
v n
w n
⎞
⎠ . Le système peut s’écrire X n+1 = AX n avec
A =
⎛
⎝
−1
1
1
1 −1
1
1
1 −1
⎞
⎠ , d’où X n = A
n X 0 . On détermine les éléments propres
(voir exercice 7.12 page 175), on trouve que E 1 (A) = Vect
⎛
⎝ C 1 =
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠
⎞
⎠ et
E −2 (A) = Vect
⎛
⎝ C 2 =
⎛
⎝
−1
1
0
⎞
⎠ , C 3 =
⎛
⎝
−1
0
1
⎞
⎠
⎞
⎠ .
La famille (C 1 , C 2 , C 3 ) est une base de diagonalisation de A. Il existe des nombres a,
b et c tels que X 0 = aC 1 + bC 2 + cC 3 . Il vient X n = A
n X 0 = aC 1 + b2
n C 2 + c2
n C 3 .
On en déduit que ∀n ∈ N, u n = a − 2
n b − 2
n c, v n = a + 2
n b et w n = a + 2
n c.
On voit que les trois suites convergent si et seulement si b = c = 0. Puisque
u 0 = a − b − c, v 0 = a + b et w 0 = a + c, ces conditions sont équivalentes à
u 0 = v 0 = w 0 .
7.1.9 Utilisation d’un logiciel de calcul formel
Dans certains concours, un logiciel de calcul formel est mis à disposition des candidats. L’exercice suivant se prête bien à l’utilisation de Maple.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 + X = A. En multipliant les deux membres par P
à gauche et P
−1 à droite, elle est équivalente à (P X P
−1 )
2 + (P X P
−1 ) = P AP
−1 ,
c’est-à dire à P X P
−1
∈ Y. Les solutions de (1) sont donc les matrices de la
forme X = P
−1 Y P, avec Y ∈ Y. On obtient ainsi les huit matrices de la forme
X =
⎛
⎝
a 0
0
0 b b − c
0 0
c
⎞
⎠ , avec a ∈ {−3, 2}, b ∈ {−2, 1} et c ∈ {−1, 0}.
Exercice 7.25
Mines-Ponts MP 2007
On considère trois suites réelles (u n ) n0 , (v n ) n0 et (w n ) n0 vérifiant, pour tout
n ∈ N, u n+1 = −u n + v n + w n , v n+1 = u n − v n + w n , w n+1 = u n + v n − w n .
Exprimer u n , v n et w n en fonction de n et trouver une condition nécessaire et
suffisante sur (u 0 , v 0 , w 0 ) pour que ces trois suites convergent.
Posons X n =
⎛
⎝
u n
v n
w n
⎞
⎠ . Le système peut s’écrire X n+1 = AX n avec
A =
⎛
⎝
−1
1
1
1 −1
1
1
1 −1
⎞
⎠ , d’où X n = A
n X 0 . On détermine les éléments propres
(voir exercice 7.12 page 175), on trouve que E 1 (A) = Vect
⎛
⎝ C 1 =
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠
⎞
⎠ et
E −2 (A) = Vect
⎛
⎝ C 2 =
⎛
⎝
−1
1
0
⎞
⎠ , C 3 =
⎛
⎝
−1
0
1
⎞
⎠
⎞
⎠ .
La famille (C 1 , C 2 , C 3 ) est une base de diagonalisation de A. Il existe des nombres a,
b et c tels que X 0 = aC 1 + bC 2 + cC 3 . Il vient X n = A
n X 0 = aC 1 + b2
n C 2 + c2
n C 3 .
On en déduit que ∀n ∈ N, u n = a − 2
n b − 2
n c, v n = a + 2
n b et w n = a + 2
n c.
On voit que les trois suites convergent si et seulement si b = c = 0. Puisque
u 0 = a − b − c, v 0 = a + b et w 0 = a + c, ces conditions sont équivalentes à
u 0 = v 0 = w 0 .
7.1.9 Utilisation d’un logiciel de calcul formel
Dans certains concours, un logiciel de calcul formel est mis à disposition des candidats. L’exercice suivant se prête bien à l’utilisation de Maple.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit