Exercice 7.24
TPE MP 2006
On se propose de résoudre dans M 3 (R) l’équation (1) : X
2 + X = A, avec
A =
⎛
⎝
6 0
0
0 2 −2
0 0
0
⎞
⎠ .
1) Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que
A = P D P
−1 .
2) Déterminer les matrices Y ∈ M 3 (R) telles que Y
2 + Y = D.
Indication de la rédaction : on pourra commencer par montrer qu’une matrice Y
vérifiant Y
2 + Y = D commute avec la matrice D, et en déduire que c’est une
matrice diagonale.
3) Résoudre alors l’équation (1).
1) La matrice A est triangulaire et admet 6, 2 et 0 pour valeurs propres (simples). Elle
est donc diagonalisable dans M 3 (R). On obtient sans calcul le sous-espace propre
E 6 ( A) : c’est la droite vectorielle engendrée par u = (1, 0, 0). On obtient de même le
sous-espace propre E 2 ( A) : c’est la droite vectorielle engendrée par v = (0, 1, 0). Le
sous-espace propre E 0 ( A) est le noyau de A : c’est la droite vectorielle engendrée par
w = (0, 1, 1). On a donc A = P D P
−1 , avec D =
⎛
⎝
6 0 0
0 2 0
0 0 0
⎞
⎠ , P =
⎛
⎝
1 0 0
0 1 1
0 0 1
⎞
⎠
et P
−1 =
⎛
⎝
1 0
0
0 1 −1
0 0
1
⎞
⎠ .
2) Commençons par résoudre l’équation (2) : Y
2 + Y = D. Une solution Y de
cette équation commute avec D puisque DY = (Y
2 + Y )Y = Y (Y
2 + Y ) = Y D.
Si on désigne par y (resp. d) l’endomorphisme de R
3 dont la matrice, dans la base
(u, v, w), est égale à Y (resp. D), alors les endomorphismes y et d commutent. Il en
résulte que les sous-espace propres de d sont stables par y. Il existe donc des réels a,
b et c tels que y(u) = au, y(v) = bv et y(w) = cw, et on a donc Y =
⎛
⎝
a 0 0
0 b 0
0 0 c
⎞
⎠ .
On en déduit que a
2 +a = 6, b
2 + b = 2 et c
2 + c = 0 et il en résulte que l’ensemble Y
des solutions de (2) est formé des matrices diagonales de la forme Y =
⎛
⎝
a 0 0
0 b 0
0 0 c
⎞
⎠
avec a ∈ {−3, 2}, b ∈ {−2, 1} et c ∈ {−1, 0}.