Chap. 7. Réduction des endomorphismes
l 2 =
a n −
a 2
n + 4s
2
. Si l’une de ces racines l n’était pas valeur propre de f ,
alors A vérifierait la relation A
2 = lA. Cette relation implique en particulier
que a s a n = la s donc que a n = l, et que a
2
1 + · · · + a
2
n = la n , donc que s = 0,
c’est-à-dire a 1 = · · · = a n−1 = 0 ce qui n’est pas possible. Les deux racines l 1
et l 2 sont donc valeurs propres et nécessairement elles sont d’ordre 1. Alors le
polynôme caractéristique de A est (−1)
n X
n−2 (X
2
− a n X − s) .
Remarques
• On peut calculer le déterminant D(a 1 , . . . , a n , l) = det(A − lI n ) par récurrence.
En développant ce déterminant on obtient la relation
D(a 1 , . . . , a n , l) = −lD(a 2 , . . . , a n , l) + (−1)
n+1 a
2
1 l
n−2 .
• La matrice A étant symétrique réelle, on pouvait conclure d’emblée qu’elle est
diagonalisable (voir chapitre sur les espaces euclidiens).
Exercice 7.31
TPE MP 2005
Soit A ∈ M n (R) définie par
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · a n
. . .
. . .
. . .
. . . a 2
. . .
. . .
a 1 0 ... 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, (a 1 , . . . , a n ) ∈ R
n .
Étudier si A est diagonalisable.
Indication de la rédaction : Soit (e i ) i∈[[1 ,n]] la base canonique de R
n . Remarquer
que pour i ∈ [[1 , E
n
2
]], les plans F i = Vect(e i , e n+1−i ) sont stables par A.
Si n = 2 p + 1 est impair, on voit que la droite Vect(e p+1 ) est stable par A.
Si n est pair, R
n =
E(
n
2 )
i=1
F i , si n est impair, R
n =
E(
n
2 )
i=1
F i ⊕ Vect(e p+1 ) donc A
est diagonalisable si et seulement si les endomorphismes induits sur les F i sont
diagonalisables.
Cela revient a étudier le caractère diagonalisable des matrices
0 a n+1−i
a i
0
.
L’exercice 7.8 page 172 nous apporte la solution : A est diagonalisable si et seulement si
∀i
n
2
, (a i a n+1−i > 0 ou a i = a n+1−i = 0) .
l 2 =
a n −
a 2
n + 4s
2
. Si l’une de ces racines l n’était pas valeur propre de f ,
alors A vérifierait la relation A
2 = lA. Cette relation implique en particulier
que a s a n = la s donc que a n = l, et que a
2
1 + · · · + a
2
n = la n , donc que s = 0,
c’est-à-dire a 1 = · · · = a n−1 = 0 ce qui n’est pas possible. Les deux racines l 1
et l 2 sont donc valeurs propres et nécessairement elles sont d’ordre 1. Alors le
polynôme caractéristique de A est (−1)
n X
n−2 (X
2
− a n X − s) .
Remarques
• On peut calculer le déterminant D(a 1 , . . . , a n , l) = det(A − lI n ) par récurrence.
En développant ce déterminant on obtient la relation
D(a 1 , . . . , a n , l) = −lD(a 2 , . . . , a n , l) + (−1)
n+1 a
2
1 l
n−2 .
• La matrice A étant symétrique réelle, on pouvait conclure d’emblée qu’elle est
diagonalisable (voir chapitre sur les espaces euclidiens).
Exercice 7.31
TPE MP 2005
Soit A ∈ M n (R) définie par
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · a n
. . .
. . .
. . .
. . . a 2
. . .
. . .
a 1 0 ... 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, (a 1 , . . . , a n ) ∈ R
n .
Étudier si A est diagonalisable.
Indication de la rédaction : Soit (e i ) i∈[[1 ,n]] la base canonique de R
n . Remarquer
que pour i ∈ [[1 , E
n
2
]], les plans F i = Vect(e i , e n+1−i ) sont stables par A.
Si n = 2 p + 1 est impair, on voit que la droite Vect(e p+1 ) est stable par A.
Si n est pair, R
n =
E(
n
2 )
i=1
F i , si n est impair, R
n =
E(
n
2 )
i=1
F i ⊕ Vect(e p+1 ) donc A
est diagonalisable si et seulement si les endomorphismes induits sur les F i sont
diagonalisables.
Cela revient a étudier le caractère diagonalisable des matrices
0 a n+1−i
a i
0
.
L’exercice 7.8 page 172 nous apporte la solution : A est diagonalisable si et seulement si
∀i
n
2
, (a i a n+1−i > 0 ou a i = a n+1−i = 0) .