7.1.8 Quelques applications de la réduction des matrices
Ce qu’il faut savoir
• Calcul des puissances de A : soit A ∈ M p (K).
◦ Lorsqu’on dispose d’un polynôme P annulateur de A, on effectue la division
euclidienne de X
n par P. Il existe (Q, R) ∈ K[X ]
2 tels que X
n = P Q + R
avec deg R n − 1. On en déduit que A
n = P(A)Q(A) + R(A) = R(A).
En particulier, en notant p le degré de P, A
n est combinaison linéaire de
(I , A, . . . , A
p−1 ). Voir exercice 7.22.
◦ Lorsque A est diagonalisable, il existe P ∈ GL p (K) et D diagonale telles
que P
−1 AP = D. Alors, pour tout n ∈ N, on a P
−1 A
n P = D
n et donc
A
n = P D
n P
−1 .
◦ Lorsque A est seulement trigonalisable, on essaie d’écrire A = PT P
−1
avec P ∈ GL p (K), T triangulaire supérieure telle que T = D + N
avec D diagonale, N triangulaire strictement supérieure et D N = N D.
Ainsi on peut utiliser la formule du binôme de Newton, et on obtient
T
n =
n
k=0
n
k
N
k D
n−k , N étant nilpotente, le calcul est alors plus simple
(voir exercice 7.23, page 184).
• Étude des suites récurrences linéaires : par exemple, si pour tout n ∈ N on a
la relation
⎛
⎝
u n+1
v n+1
w n+1
⎞
⎠ = A
⎛
⎝
u n
v n
w n
⎞
⎠ où A ∈ M 3 (K), alors, pour tout n ∈ N,
on a
⎛
⎝
u n
v n
w n
⎞
⎠ = A
n
⎛
⎝
u 0
v 0
w 0
⎞
⎠ d’où on déduit les suites (u n ), (v n ) et (w n ).
• Résolution d’équations matricielles
◦ Rappelons une propriété importante : si f et g sont deux endomorphismes
de E tels que f ◦ g = g ◦ f , alors tout sous-espace propre de f est stable par
g.
◦ Lorsqu’on veut résoudre l’équation M
2 + M = A où A ∈ M n (K), on utilise
le fait que la matrice inconnue M commute avec A, donc les espaces propres
de A sont stables par M. On effectue alors un changement de bases permettant de se ramener à une équation plus simple. Cette démarche est illustrée
dans l’exercice 7.24 page 186.
• Étude des systèmes différentiels du type Y
= AY (ou Y
= AY + B(t)).
On cherche P inversible telle que P
−1 AP soit diagonale ou triangulaire en
déterminant les éléments propres de la matrice. En posant Z = P
−1 Y , le système différentiel se réécrit Z
= (P
−1 AP)Z + P
−1 B(t) que l’on sait résoudre.
On termine en revenant à Y = P Z (remarquons que le calcul de P
−1 n’est pas
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Ce qu’il faut savoir
• Calcul des puissances de A : soit A ∈ M p (K).
◦ Lorsqu’on dispose d’un polynôme P annulateur de A, on effectue la division
euclidienne de X
n par P. Il existe (Q, R) ∈ K[X ]
2 tels que X
n = P Q + R
avec deg R n − 1. On en déduit que A
n = P(A)Q(A) + R(A) = R(A).
En particulier, en notant p le degré de P, A
n est combinaison linéaire de
(I , A, . . . , A
p−1 ). Voir exercice 7.22.
◦ Lorsque A est diagonalisable, il existe P ∈ GL p (K) et D diagonale telles
que P
−1 AP = D. Alors, pour tout n ∈ N, on a P
−1 A
n P = D
n et donc
A
n = P D
n P
−1 .
◦ Lorsque A est seulement trigonalisable, on essaie d’écrire A = PT P
−1
avec P ∈ GL p (K), T triangulaire supérieure telle que T = D + N
avec D diagonale, N triangulaire strictement supérieure et D N = N D.
Ainsi on peut utiliser la formule du binôme de Newton, et on obtient
T
n =
n
k=0
n
k
N
k D
n−k , N étant nilpotente, le calcul est alors plus simple
(voir exercice 7.23, page 184).
• Étude des suites récurrences linéaires : par exemple, si pour tout n ∈ N on a
la relation
⎛
⎝
u n+1
v n+1
w n+1
⎞
⎠ = A
⎛
⎝
u n
v n
w n
⎞
⎠ où A ∈ M 3 (K), alors, pour tout n ∈ N,
on a
⎛
⎝
u n
v n
w n
⎞
⎠ = A
n
⎛
⎝
u 0
v 0
w 0
⎞
⎠ d’où on déduit les suites (u n ), (v n ) et (w n ).
• Résolution d’équations matricielles
◦ Rappelons une propriété importante : si f et g sont deux endomorphismes
de E tels que f ◦ g = g ◦ f , alors tout sous-espace propre de f est stable par
g.
◦ Lorsqu’on veut résoudre l’équation M
2 + M = A où A ∈ M n (K), on utilise
le fait que la matrice inconnue M commute avec A, donc les espaces propres
de A sont stables par M. On effectue alors un changement de bases permettant de se ramener à une équation plus simple. Cette démarche est illustrée
dans l’exercice 7.24 page 186.
• Étude des systèmes différentiels du type Y
= AY (ou Y
= AY + B(t)).
On cherche P inversible telle que P
−1 AP soit diagonale ou triangulaire en
déterminant les éléments propres de la matrice. En posant Z = P
−1 Y , le système différentiel se réécrit Z
= (P
−1 AP)Z + P
−1 B(t) que l’on sait résoudre.
On termine en revenant à Y = P Z (remarquons que le calcul de P
−1 n’est pas
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