nécessaire si B(t) = 0). Nous renvoyons le lecteur au chapitre sur les équations
différentielles linéaires dans le tome d’analyse.
Exercice 7.22
CCP MP 2007
Soit A =
1 −1
−2
0
. Calculer A
n pour n ∈ N.
Le polynôme caractéristique de A est P A (X ) = X
2
− X − 2 = (X + 1)(X − 2) et on
sait d’après le théorème de Cayley-Hamilton que c’est un polynôme annulateur de A.
Ceci nous permet de calculer A
n lorsque n ∈ N. En effet la division euclidienne dans
R[X ] du polynôme X
n par le polynôme P A s’écrit X
n = Q n P A + R n où Q n et R n
sont des polynômes, avec degré R n 1. Il existe donc des constantes réelles a n et b n
telles que : (1) X
n = Q n P A + a n X + b n .
On détermine a n et b n et donnant à X successivement les valeurs qui annulent le
polynôme P A . Pour X = −1 on obtient (−1)
n = −a n + b n , et pour x = 2 on obtient
2
n = 2a n + b n . On en déduit a n =
2
n
− (−1)
n
3
et b n =
2
n + 2(−1)
n
3
.
En remplaçant alors la variable X par la matrice A dans la relation (1) on obtient
A
n = a n A + b n I 2 =
1
3
2
n+1 + (−1)
n
−2
n + (−1)
n
−2
n+1 + 2(−1)
n
2
n + 2(−1)
n
.
Exercice 7.23
TPE MP 2006
On pose A =
⎛
⎝
0
1 0
0
0 1
1 −3 3
⎞
⎠ et B =
⎛
⎝
1 1 0
0 1 1
0 0 1
⎞
⎠ .
1) Montrer que A n’est pas diagonalisable.
2) Montrer que A et B sont semblables.
3) Calculer A
n pour n ∈ N.
1) On vérifie facilement que x A = (1 − X )
3 . Déterminons le sous-espace propre
associé à la valeur propre 1.
On cherche U =
t (x, y, z) tel que (A − I 3 )U = 0, c’est-à-dire tel que
⎧
⎨
⎩
−x + y = 0
−y + z = 0
x − 3y + 2z= 0
.
On en déduit que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de
dimension 1 et il est dirigé par V 1 =
t (1, 1, 1) . La matrice A n’est donc pas
diagonalisable.