Remarque
Voir l’exercice 7.10 pour la recherche des éléments propres de f et une autre
preuve du fait que f est diagonalisable.
Exercice 7.20
Navale PSI 2006, Mines-Ponts MP 2006 et 2007
Soient a ∈ R
∗ et A =
⎛
⎝
0
a a
2
a
−1
0
a
a
−2 a
−1
0
⎞
⎠ . Montrer que A est diagonalisable et
déterminer Sp A sans calculer x A .
Indication de la rédaction : on pourra calculer A
2 et en déduire un polynôme
annulateur de A.
On vérifie que A
2 = A + 2I 3 . Le polynôme P = X
2
− X − 2 = (X + 1)(X − 2)
est annulateur de A, scindé sur R et à racines simples. La matrice A est donc
diagonalisable. De plus Sp A ⊂ {−1, 2}. Si l’une des racines de P n’était pas valeur
propre, alors la matrice A serait diagonalisable avec une seule valeur propre et serait
donc une matrice scalaire, ce qui n’est pas le cas. Ainsi Sp A = {−1, 2}.
Remarque
Bien entendu, le polynôme annulateur donne un critère de diagonalisation et les
valeurs propres éventuelles, mais ne donne pas les sous-espaces propres.
Par exemple, pour déterminer les sous-espaces propres de A, on résout le
système AX = lX . Ainsi, en résolvant le système AX = −X , on obtient
E −1 (A) = Vect(V 1 , V 2 ) où V 1 =
t (−a, 1, 0) et V 2 =
t (−a
2 , 0, 1). De même, en
résolvant le système AX = 2X , on obtient E 2 (A) = Vect(V 3 ) où V 3 =
t (a
2 , a, 1).
Exercice 7.21
CCP MP 2007
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). On suppose que
(u + Id E )
3
◦ (u − 2 Id E ) = 0 et (u + Id E )
2
◦ (u − 2 Id E ) = 0. L’endomorphisme u
est-il trigonalisable ? Est-il diagonalisable ?
Le polynôme (X + 1)
3 (X − 2) est un polynôme annulateur de u, et il est scindé dans
R[X ]. L’endomorphisme u est donc trigonalisable.
On en déduit de plus que Sp(u) ⊂ {−1, 2}.
Si u était diagonalisable, alors (X + 1)(X − 2) serait un polynôme annulateur de u
donc a fortiori le polynôme (X + 1)
2 (X − 2), ce qui n’est pas le cas par hypothèse.
L’endomorphisme u n’est donc pas diagonalisable.
Voir l’exercice 7.10 pour la recherche des éléments propres de f et une autre
preuve du fait que f est diagonalisable.
Exercice 7.20
Navale PSI 2006, Mines-Ponts MP 2006 et 2007
Soient a ∈ R
∗ et A =
⎛
⎝
0
a a
2
a
−1
0
a
a
−2 a
−1
0
⎞
⎠ . Montrer que A est diagonalisable et
déterminer Sp A sans calculer x A .
Indication de la rédaction : on pourra calculer A
2 et en déduire un polynôme
annulateur de A.
On vérifie que A
2 = A + 2I 3 . Le polynôme P = X
2
− X − 2 = (X + 1)(X − 2)
est annulateur de A, scindé sur R et à racines simples. La matrice A est donc
diagonalisable. De plus Sp A ⊂ {−1, 2}. Si l’une des racines de P n’était pas valeur
propre, alors la matrice A serait diagonalisable avec une seule valeur propre et serait
donc une matrice scalaire, ce qui n’est pas le cas. Ainsi Sp A = {−1, 2}.
Remarque
Bien entendu, le polynôme annulateur donne un critère de diagonalisation et les
valeurs propres éventuelles, mais ne donne pas les sous-espaces propres.
Par exemple, pour déterminer les sous-espaces propres de A, on résout le
système AX = lX . Ainsi, en résolvant le système AX = −X , on obtient
E −1 (A) = Vect(V 1 , V 2 ) où V 1 =
t (−a, 1, 0) et V 2 =
t (−a
2 , 0, 1). De même, en
résolvant le système AX = 2X , on obtient E 2 (A) = Vect(V 3 ) où V 3 =
t (a
2 , a, 1).
Exercice 7.21
CCP MP 2007
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). On suppose que
(u + Id E )
3
◦ (u − 2 Id E ) = 0 et (u + Id E )
2
◦ (u − 2 Id E ) = 0. L’endomorphisme u
est-il trigonalisable ? Est-il diagonalisable ?
Le polynôme (X + 1)
3 (X − 2) est un polynôme annulateur de u, et il est scindé dans
R[X ]. L’endomorphisme u est donc trigonalisable.
On en déduit de plus que Sp(u) ⊂ {−1, 2}.
Si u était diagonalisable, alors (X + 1)(X − 2) serait un polynôme annulateur de u
donc a fortiori le polynôme (X + 1)
2 (X − 2), ce qui n’est pas le cas par hypothèse.
L’endomorphisme u n’est donc pas diagonalisable.