3) On peut choisir V 1 =
t (1, 0, −1) et V 2 =
t (0, 1, 0).
Les coordonnées (x, y, z) de V 3 vérifient le système
2z
= 0
x + z = 1
.
On peut donc prendre V 3 =
t (1, 0, 0).
4) Soit P =
⎛
⎝
1 0 1
0 1 0
−1 0 0
⎞
⎠ . Le déterminant de P est égal à 1. Il en résulte que
(V 1 , V 2 , V 3 ) est une base de R
3 et P est la matrice de passage de la base canonique
de R
3 à la base (V 1 , V 2 , V 3 ).
7.1.7 Diagonalisation, trigonalisation et polynôme annulateur
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E).
• Critères de diagonalisation
◦ L’endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si u admet un polynôme annulateur non nul, scindé dans K[X ] et à racines simples.
◦ L’endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si son polynôme
minimal est scindé dans K[X ] et à racines simples.
◦ Si u est diagonalisable et si F est un sous-espace stable par u, alors u| F est
diagonalisable.
• Critères de trigonalisation
◦ L’endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si u admet un polynôme annulateur non nul, scindé dans K[X ].
◦ L’endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé dans K[X ].
◦ Si u est trigonalisable et si F est un sous-espace stable par u, alors u| F est
trigonalisable.
Exercice 7.19
CCP MP 2007
Soient n un entier 2 et f : M n (R) → M n (R) définie par f (M) =
t
M.
Déterminer le polynôme minimal de f . En déduire que f est diagonalisable.
On remarque que f ◦ f = Id et que f = ± Id, donc le polynôme X
2
−1 = (X −1)(X +1)
est annulateur de f , mais pas les polynômes X − 1 et X + 1. Il en résulte que X
2
− 1
est le polynôme minimal de f . Comme ce polynôme est scindé à racines simples
dans R[X ], f est diagonalisable.
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