Chap. 7. Réduction des endomorphismes
7.1.6 Endomorphismes trigonalisables
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel de dimension finie égale à n sur K. Un endomorphisme u de E est dit trigonalisable lorsqu’il existe une base dans laquelle la
matrice de u est triangulaire.
Remarque
Si dans une base B = (e 1 , . . . , e n ) la matrice de u est triangulaire supérieure,
alors dans la base (e n , . . . , e 1 ), elle est triangulaire inférieure.
Une matrice M ∈ M n (K) est dite trigonalisable dans M n (K) lorsqu’il existe
une matrice P ∈ GL n (K) telle que la matrice P
−1 M P soit triangulaire.
Exercice 7.18
CCP MP 2006
Soit A =
⎛
⎝
3 0 2
1 3 1
0 0 1
⎞
⎠ .
1) Donner le polynôme caractéristique de A et ses valeurs propres.
2) Déterminer les sous-espaces propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
3) Déterminer V 1 , V 2 , V 3 tels que AV 1 = V 1 , AV 2 = 3V 2 et AV 3 = V 2 + 3V 3 .
4) Montrer que (V 1 , V 2 , V 3 ) est une base de R
3 et donner la matrice de passage
P de la base canonique de R
3 à la base (V 1 , V 2 , V 3 ).
1) On calcule facilement, par exemple avec la règle de Sarrus, le polynôme caractéristique de A. On obtient x A = (3 − X )
2 (1 − X ). Les valeurs propres de A sont 1
(valeur propre simple) et 3 (valeur propre double).
2) On a A − I 3 =
⎛
⎝
2 0 2
1 2 1
0 0 0
⎞
⎠ et on en déduit aisément que
E 1 ( A) = Vect((1, 0, −1)).
De même A − 3I 3 =
⎛
⎝
0 0
2
1 0
1
0 0 −2
⎞
⎠ d’où on déduit aisément que
E 3 ( A) = Vect((0, 1, 0)).
La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à 2 < 3, donc A
n’est pas diagonalisable.