Si A est un polynôme annulateur de u, alors A(u)(1) = 0, donc A = 0, ce qui est
absurde. Il en résulte que u n’admet pas de polynôme annulateur non nul. Ce résultat
n’est pas en contradiction avec le théorème du cours car R[X ] est de dimension
infinie.
7.1.5 Lemme de décomposition des noyaux.
Ce qu’il faut savoir
Lemme de décomposition des noyaux : Si P et Q sont deux polynômes premiers entre eux alors Ker(P Q(u)) = Ker P(u) ⊕ Ker Q(u).
Plus généralement, soit (P 1 , . . . , P r ) ∈ K[X ]
r une famille de polynômes deux à
deux premiers entre eux, et soit P =
r
k=1
P k . On a alors
Ker P(u) =
r
k=1
Ker P k (u) .
En particulier, si P est un polynôme annulateur de u alors E =
r
k=1
Ker P k (u).
Les sous-espaces Ker P k (u) sont stables par u et les projections associées sont des
polynômes en u.
Exercice 7.17
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u ∈ L(E). On considère deux polynômes P et Q de K[X ] premiers entre eux. Montrer que
rg (P (u)) + rg (Q (u)) n et caractériser le cas d’égalité.
D’après le lemme de décomposition des noyaux, Ker P Q(u) = Ker P(u) ⊕ Ker Q(u)
et par le théorème du rang
rg (P (u)) + rg (Q (u)) = (n − dim Ker P(u)) + (n − dim Ker Q(u))
= n + n − dim Ker P(u) − dim Ker Q(u)
= n + n − dim Ker P Q(u) = n + rg(P Q(u))
Il en résulte que rg (P (u)) + rg (Q (u)) n et il y a égalité si et seulement si
rg(P Q(u)) = 0, c’est-à-dire si et seulement si P Q est un polynôme annulateur de u.
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