Exercice 7.14
TPE MP 2006
Déterminer le polynôme minimal de la matrice A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
⎞
⎟
⎟
⎠ .
On calcule facilement A
2 = 2
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠ puis A
3 = 4 A. Il en résulte que le
polynôme P = X
3
− 4X = X (X + 2)(X − 2) est un polynôme annulateur de A et
qu’aucun des polynômes X , X − 2, X + 2, X (X + 2), X (X − 2) et (X + 2)(X − 2)
n’est annulateur de A. Le polynôme minimal de A est donc P = X
3
− 4X .
Exercice 7.15
Mines-Ponts MP 2005, Centrale 2004
Soient n 2 et A la matrice carrée réelle d’ordre n dont tous les coefficients
sont égaux à 1. Donner le polynôme minimal de A.
Nous avons déjà étudié cette matrice dans l’exercice 7.11 page 174.
Cherchons le polynôme minimal p A . Comme A n’est pas une homothétie,
deg p A 2. De plus A
2 = n A donc le polynôme X
2
− n X = X (X − n) est
annulateur. Il en résulte que p A = X (X − n).
Remarque
Notons que le polynôme minimal de A est scindé à racines simples ce qui, on le
verra plus loin, prouve que A est diagonalisable.
Exercice 7.16
Centrale MP 2007
Donner un exemple de couple (E, u) où E est un C-espace vectoriel et u un
endomorphisme de E n’admettant pas de polynôme annulateur non nul.
Soient E = R[X ] et u l’endomorphisme de E défini par u(P) = X P. Par récurrence
sur k, on vérifie facilement que ∀P ∈ E, u
k (P) = X
k P.
Soit A =
n
k=0
a k X
k un polynôme non nul. On en déduit que
∀P ∈ E, A(u)(P) =
n
k=0
a k u
k (P) =
n
k=0
a k X
k P = AP .