Attention
◦ Lorsque P = 1, on a P(u) = Id E . Lorsque P = X , on a P(u) = u.
◦ Si x ∈ E, alors P(u)(x) a un sens (c’est l’image du vecteur x par l’endomorphisme P(u)). En revanche, P(u(x)) n’a en général pas de sens.
Remarque
On note K[u] = Im w u . C’est une sous-algèbre commutative de L(E).
• Lien avec la stabilité : soit P ∈ K[X ].
◦ Les sous-espaces vectoriels Ker P(u) et Im P(u) sont stables par u.
◦ Si F est un sous-espace de E stable par u, alors F est stable par P(u) et
P(u) F = P(u F ).
• Si l est une valeur propre de u et P ∈ K[X ], alors P(l) est une valeur propre
de P(u).
Polynômes annulateurs
• On dit que le polynôme P est un polynôme annulateur de u lorsque P(u) est
l’endomorphisme nul de E, ce qu’on notera abusivisement P(u) = 0 dans la
suite de ce chapitre.
• Si P(u) = 0, alors toute valeur propre de u est un zéro de P ; autrement dit
Sp C (u) ⊂ P
−1 (0).
• Lorsque E est de dimension finie, tout endomorphisme u de E admet au moins
un polynôme annulateur. Ce n’est pas vrai lorsque E n’est pas de dimension
finie (voir exercice 7.16 page 178).
• Résultat important : si P est un polynôme annulateur de u, alors toute valeur
propre de u est racine de P. La réciproque est fausse.
Polynôme minimal
• L’ensemble I u = {P ∈ K[X ], P(u) = 0} est un idéal de K[X ] appelé idéal
annulateur de u.
• En dimension finie, il existe un polynôme non nul de degré minimal p u (que
l’on pourra choisir unitaire) tel que I u = p u K[X ]. On l’appelle le polynôme
minimal de u.
On a K[u] = Vect
Id E , u, . . . , u
deg(p u )−1
donc dim K[u] = deg (p u ) .
Les racines de p u sont exactement les valeurs propres de u.
Le théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors
x u (u) = 0, ou de manière équivalente : p u | x u . Il en résulte que deg (p u ) dim E.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
◦ Lorsque P = 1, on a P(u) = Id E . Lorsque P = X , on a P(u) = u.
◦ Si x ∈ E, alors P(u)(x) a un sens (c’est l’image du vecteur x par l’endomorphisme P(u)). En revanche, P(u(x)) n’a en général pas de sens.
Remarque
On note K[u] = Im w u . C’est une sous-algèbre commutative de L(E).
• Lien avec la stabilité : soit P ∈ K[X ].
◦ Les sous-espaces vectoriels Ker P(u) et Im P(u) sont stables par u.
◦ Si F est un sous-espace de E stable par u, alors F est stable par P(u) et
P(u) F = P(u F ).
• Si l est une valeur propre de u et P ∈ K[X ], alors P(l) est une valeur propre
de P(u).
Polynômes annulateurs
• On dit que le polynôme P est un polynôme annulateur de u lorsque P(u) est
l’endomorphisme nul de E, ce qu’on notera abusivisement P(u) = 0 dans la
suite de ce chapitre.
• Si P(u) = 0, alors toute valeur propre de u est un zéro de P ; autrement dit
Sp C (u) ⊂ P
−1 (0).
• Lorsque E est de dimension finie, tout endomorphisme u de E admet au moins
un polynôme annulateur. Ce n’est pas vrai lorsque E n’est pas de dimension
finie (voir exercice 7.16 page 178).
• Résultat important : si P est un polynôme annulateur de u, alors toute valeur
propre de u est racine de P. La réciproque est fausse.
Polynôme minimal
• L’ensemble I u = {P ∈ K[X ], P(u) = 0} est un idéal de K[X ] appelé idéal
annulateur de u.
• En dimension finie, il existe un polynôme non nul de degré minimal p u (que
l’on pourra choisir unitaire) tel que I u = p u K[X ]. On l’appelle le polynôme
minimal de u.
On a K[u] = Vect
Id E , u, . . . , u
deg(p u )−1
donc dim K[u] = deg (p u ) .
Les racines de p u sont exactement les valeurs propres de u.
Le théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors
x u (u) = 0, ou de manière équivalente : p u | x u . Il en résulte que deg (p u ) dim E.
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