Exercice 7.13
Soit n ∈ N supérieur ou égal à 2, et soit A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 ... 1 1 − n
. . .
. . . 1 − n
. . .
. . .
. . .
1 ... 1 1 − n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ M n (R).
Montrer que la matrice A n’est pas diagonalisable.
Remarquons que A est de rang 1 (car toutes les lignes sont identiques) donc E 0 (A)
est de dimension n − 1. La multiplicité de la valeur propre 0 est donc supérieure ou
égale à n − 1, le polynôme caractéristique x A s’écrit alors x A = (−1)
n X
n−1 (X − a)
où a est un nombre réel. L’expression générale du polynôme caractéristique donne
a = tr A = 0. En conclusion x A = (−1)
n X
n . Si A était diagonalisable, elle serait
semblable à la matrice nulle, et donc elle serait égale à la matrice nulle. Ce n’est pas
le cas et donc A n’est pas diagonalisable.
Ce qu’il faut retenir
Si le rang d’une matrice est petit, alors son noyau a une grande dimension et 0 est
valeur propre de multiplicité au moins égale à dim Ker u. De nombreux exercices
portent sur des matrices de rang 1 ou 2.
En particulier, si M est de rang 1, alors x M = (−1)
n X
n−1 (X − tr M). Il en résulte
que M est diagonalisable si et seulement si tr M = 0. Voir les exercices 7.29
page 190, 7.30 page 191.
7.1.4 Polynômes d’endomorphismes, polynômes annulateurs
Ce qu’il faut savoir
Polynômes d’endomorphismes
Soit u ∈ L(E).
• À tout polynôme P =
n
k=0
a k X
k
∈ K[X ], on associe l’endomorphisme de E,
P(u) =
n
k=0
a k u
k (avec la convention u
0 = Id E ).
• L’application w u :
K[X ] −→ L(E)
P
−→ P(u)
est un morphisme de K-algèbre. On
retiendra en particulier :
∀ (P, Q) ∈ K [X ]
2 , (P Q) (u) = P (u) ◦ Q (u) = Q (u) ◦ P (u) .