Pour déterminer E 0 (A), on résout le système AX = n X. Il est équivalent à
x 1 + · · · + x n = nx 1 = nx 2 = . . . = nx n .
On obtient alors
E n ( A) = Vect(
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠).
L’exercice suivant est un classique qu’on trouve chaque année dans plusieurs
concours.
Exercice 7.12
Plusieurs concours et plusieurs années
Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice réelle M
dont les éléments diagonaux valent a et les autres valent b. Donner une condition
nécessaire et suffisante pour que M soit inversible.
Dans le cas où b = 0, la matrice est diagonale. On suppose désormais que b = 0.
On pourrait calculer le polynôme caractéristique de la matrice M (on obtient
x M = (−1)
n (X − (a + (n − 1)b)(X − (a − b))
n−1 ), voir exercice 6.7, page 161) et
déterminer ensuite les éléments propres de M.
On propose ici une autre méthode en remarquant que M s’écrit M = (a − b)I n + b J n
où J n ∈ M n (R) est la matrice de l’exercice précédent.
La matrice J n est diagonalisable sur R. Il existe donc P ∈ GL n (R) telle que P
−1 J n P
est la matrice diagonale D = diag(0, . . . , 0
n−1 fois
, n). On obtient alors
P
−1 M P = (a − b)P
−1 I n P + bP
−1 J n P = (a − b)I n + bD
= diag(a − b, . . . , a − b
n−1 fois
, a + (n − 1)b).
Ainsi, M est diagonalisable dans la même base que J n . Plus précisément, les deux
valeurs propres (distinctes car b = 0) sont a − b et a + (n − 1)b, et les sous-espaces
propres sont E a−b (M) = E 0 (J n ), hyperplan (voir exercice précédent) et
E a+(n−1)b (M) = Vect
t (1, 1, . . . , 1)
.
La matrice M est inversible si et seulement si 0 /
∈ Sp(M) c’est-à-dire a = b et
a = (1 − n)b. On peut retrouver cette condition par un calcul de déterminant (voir
exercice 6.7, page 161).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
x 1 + · · · + x n = nx 1 = nx 2 = . . . = nx n .
On obtient alors
E n ( A) = Vect(
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠).
L’exercice suivant est un classique qu’on trouve chaque année dans plusieurs
concours.
Exercice 7.12
Plusieurs concours et plusieurs années
Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice réelle M
dont les éléments diagonaux valent a et les autres valent b. Donner une condition
nécessaire et suffisante pour que M soit inversible.
Dans le cas où b = 0, la matrice est diagonale. On suppose désormais que b = 0.
On pourrait calculer le polynôme caractéristique de la matrice M (on obtient
x M = (−1)
n (X − (a + (n − 1)b)(X − (a − b))
n−1 ), voir exercice 6.7, page 161) et
déterminer ensuite les éléments propres de M.
On propose ici une autre méthode en remarquant que M s’écrit M = (a − b)I n + b J n
où J n ∈ M n (R) est la matrice de l’exercice précédent.
La matrice J n est diagonalisable sur R. Il existe donc P ∈ GL n (R) telle que P
−1 J n P
est la matrice diagonale D = diag(0, . . . , 0
n−1 fois
, n). On obtient alors
P
−1 M P = (a − b)P
−1 I n P + bP
−1 J n P = (a − b)I n + bD
= diag(a − b, . . . , a − b
n−1 fois
, a + (n − 1)b).
Ainsi, M est diagonalisable dans la même base que J n . Plus précisément, les deux
valeurs propres (distinctes car b = 0) sont a − b et a + (n − 1)b, et les sous-espaces
propres sont E a−b (M) = E 0 (J n ), hyperplan (voir exercice précédent) et
E a+(n−1)b (M) = Vect
t (1, 1, . . . , 1)
.
La matrice M est inversible si et seulement si 0 /
∈ Sp(M) c’est-à-dire a = b et
a = (1 − n)b. On peut retrouver cette condition par un calcul de déterminant (voir
exercice 6.7, page 161).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit