Chap. 7. Réduction des endomorphismes
1) Pour S dans S n (R), on a u(S) = (a + b)S. Pour A dans A n (R), on a
u( A) = (a − b)A. Il en résulte a + b et a − b sont des valeurs propres de
u, que S n (R) est inclus dans le sous-espace propre associé à la valeur propre a + b
de u et que A n (R) est inclus dans la sous-espace propre associé à la valeur propre
a − b. Comme de plus M n (R) = S n (R) ⊕ A n (R), on peut trouver une base de E
formée de vecteurs propres et l’endomorphisme u est donc diagonalisable.
2) La trace de u est donnée par
tr(u) = (a+b) dim(S n (R))+(a−b) dim(A n (R)) =
n(n + 1)
2
(a+b)+
n(n − 1)
2
(a−b).
Le déterminant de u est donné par
det(u) = (a + b)
dim(S n (R)) (a − b)
dim(A n (R)) = (a + b)
n(n+1)
2 (a − b)
n(n−1)
2
.
Exercice 7.11
CCP PSI 2006
Soit J n la matrice réelle d’ordre n, où n 2, dont tous les coefficients sont
égaux à 1. Calculer le rang, le polynôme caractéristique de A. Montrer que A est
diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
• Il est immédiat que rg A = 1.
• Puisque rg A = rg ( A − 0I n ) = 1, le réel 0 est valeur propre de A et, par le
théorème du rang, dim E 0 ( A) = n − 1. Il en résulte que 0 est racine d’ordre de
multiplicité au moins n − 1 de x A . Le polynôme x A s’écrit donc sous la forme
x A = (−1)
n X
n−1 (X − a) = (−1)
n X
n + (−1)
n−1 a X
n−1 où a est un nombre
réel. L’expression générale du polynôme caractéristique donne a = tr A = n.
En conclusion x A = (−1)
n X
n−1 (X − n).
• Le polynôme caractéristique de A est scindé et possède deux racines distinctes 0
et n, d’ordre de multiplicité respectif n − 1 et 1. La question précédente donne
dim E 0 ( A) = n − 1. Comme la racine n est simple, on a dim E n (A) = 1. Le
polynôme caractéristique est scindé et, pour chaque valeur propre, la dimension
du sous-espace propre est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre. Par
conséquent A est diagonalisable.
• Déterminons les sous-espaces propres de A.
Pour déterminer E 0 ( A), on résout le système AX = 0 où X =
t
(x 1 , . . . , x n ). Il
équivaut à x 1 + · · · + x n = 0. On a alors
E 0 (A) = Vect
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
−1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, . . . ,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
1
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
. . .
1
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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1) Pour S dans S n (R), on a u(S) = (a + b)S. Pour A dans A n (R), on a
u( A) = (a − b)A. Il en résulte a + b et a − b sont des valeurs propres de
u, que S n (R) est inclus dans le sous-espace propre associé à la valeur propre a + b
de u et que A n (R) est inclus dans la sous-espace propre associé à la valeur propre
a − b. Comme de plus M n (R) = S n (R) ⊕ A n (R), on peut trouver une base de E
formée de vecteurs propres et l’endomorphisme u est donc diagonalisable.
2) La trace de u est donnée par
tr(u) = (a+b) dim(S n (R))+(a−b) dim(A n (R)) =
n(n + 1)
2
(a+b)+
n(n − 1)
2
(a−b).
Le déterminant de u est donné par
det(u) = (a + b)
dim(S n (R)) (a − b)
dim(A n (R)) = (a + b)
n(n+1)
2 (a − b)
n(n−1)
2
.
Exercice 7.11
CCP PSI 2006
Soit J n la matrice réelle d’ordre n, où n 2, dont tous les coefficients sont
égaux à 1. Calculer le rang, le polynôme caractéristique de A. Montrer que A est
diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
• Il est immédiat que rg A = 1.
• Puisque rg A = rg ( A − 0I n ) = 1, le réel 0 est valeur propre de A et, par le
théorème du rang, dim E 0 ( A) = n − 1. Il en résulte que 0 est racine d’ordre de
multiplicité au moins n − 1 de x A . Le polynôme x A s’écrit donc sous la forme
x A = (−1)
n X
n−1 (X − a) = (−1)
n X
n + (−1)
n−1 a X
n−1 où a est un nombre
réel. L’expression générale du polynôme caractéristique donne a = tr A = n.
En conclusion x A = (−1)
n X
n−1 (X − n).
• Le polynôme caractéristique de A est scindé et possède deux racines distinctes 0
et n, d’ordre de multiplicité respectif n − 1 et 1. La question précédente donne
dim E 0 ( A) = n − 1. Comme la racine n est simple, on a dim E n (A) = 1. Le
polynôme caractéristique est scindé et, pour chaque valeur propre, la dimension
du sous-espace propre est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre. Par
conséquent A est diagonalisable.
• Déterminons les sous-espaces propres de A.
Pour déterminer E 0 ( A), on résout le système AX = 0 où X =
t
(x 1 , . . . , x n ). Il
équivaut à x 1 + · · · + x n = 0. On a alors
E 0 (A) = Vect
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
−1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, . . . ,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
1
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
. . .
1
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
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⎞
⎟
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⎟
⎟
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⎠
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