• Déterminons les sous-espaces propres de A.
On cherche l’espace propre E 0 ( A). Le vecteur X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ est dans le sous-espace
propre E 0 ( A) si, et seulement si, il vérifie AX = 0 X . Or
AX = 0 ⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x − y
= 0
−x + y + z = 0
3z = 0
⇐⇒ x = y et z = 0.
On en déduit que E 0 ( A) = Vect(
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎠ ).
On vérifie de la même façon que E 2 ( A) = Ker( A − 2I 3 ) = Vect(
⎛
⎝
−1
1
0
⎞
⎠ ) et
E 3 ( A) = Ker( A − 3I 3 ) = Vect(
⎛
⎝
1
−2
−3
⎞
⎠ ).
• On note P la matrice de passage de la base canonique de R
3 à la base formée par les vecteurs propres de A. On a alors P =
⎛
⎝
1 −1
1
1
1 −2
0
0 −3
⎞
⎠ et donc
P
−1 AP =
⎛
⎝
0 0 0
0 2 0
0 0 3
⎞
⎠ .
Remarque
Il n’est pas nécessaire d’effectuer les calculs pour P
−1 AP. En effet, cette matrice
est la matrice de l’endomorphisme canoniquement associé à A dans la nouvelle
base formée des vecteurs propres. Les valeurs propres apparaissent sur la diagonale
dans le même ordre que les vecteurs propres dans la matrice de passage P.
Exercice 7.10
TPE MP 2007
Soient n dans N
∗ , E = M n (R) et (a, b) dans R
2 . Soit u dans L(E) qui, à toute
matrice M, associe u(M) = a M + b
t
M.
1) Montrer que u est diagonalisable.
2) Déterminer tr(u) et det(u).
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