Exercice 7.8
Soient a 1 et a 2 deux réels tels que (a 1 , a 2 ) = (0, 0) et A =
0 a 1
a 2 0
.
1) Calculer le polynôme caractéristique de A.
2) Montrer que A est diagonalisable dans M 2 (R) si et seulement si a 1 a 2 > 0.
3) Montrer que A est diagonalisable dans M 2 (C) si et seulement si a 1 a 2 = 0
1) On a, pour tout l ∈ R, x A (l) =
−l a 1
a 2 −l
= l
2
− a 1 a 2 .
2) • Si a 1 a 2 > 0, alors le polynôme x A a deux racines réelles distinctes. Il est donc
scindé à racines simples. Par conséquent A est diagonalisable dans M 2 (R),
admet deux valeurs propres distinctes et chaque sous-espace propre est de
dimension 1.
• Si a 1 a 2 < 0, alors le polynôme x A n’admet pas de racine réelle (donc il n’est
pas scindé sur R). Par conséquent, A n’est pas diagonalisable dans M 2 (R).
• Si a 1 a 2 = 0, alors x A admet 0 pour seule racine et cette racine est double. Si A
était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice diagonale de diagonale
nulle, donc la matrice nulle. Ainsi A serait la matrice nulle, ce qui n’est pas le
cas. Par conséquent, A n’est pas diagonalisable dans M 2 (R).
Conclusion : la matrice A est diagonalisable dans M 2 (R) si et seulement si
a 1 a 2 > 0.
3) • Si a 1 a 2 = 0, alors le polynôme x A a deux racines distinctes (réelles lorsque
a 1 a 2 > 0, complexes conjuguées lorsque a 1 a 2 < 0). Il est donc scindé à racines
simples. Par conséquent A est diagonalisable sur C, admet deux valeurs propres
distinctes et chaque sous-espace propre est de dimension 1.
• Si a 1 a 2 = 0, alors le raisonnement de la question précédente est encore valable.
Conclusion : la matrice A est diagonalisable dans M 2 (C) si et seulement si
a 1 a 2 = 0.
Exercice 7.9
TPE PC 2006
Déterminer a ∈ R pour que 2 soit valeur propre de A =
⎛
⎝
1 −1 0
a
1
1
0 1 + a 3
⎞
⎠ .
Montrer alors que A est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
• On vérifie facilement que x A = X
3
− 5X
2 + 6X − 2 − 2a. Le réel 2 est valeur
propre de A si et seulement si x A (2) = 0, c’est-à-dire a = −1. Dans ce cas, on a
x A = (X − 2)X (X − 3).
Soient a 1 et a 2 deux réels tels que (a 1 , a 2 ) = (0, 0) et A =
0 a 1
a 2 0
.
1) Calculer le polynôme caractéristique de A.
2) Montrer que A est diagonalisable dans M 2 (R) si et seulement si a 1 a 2 > 0.
3) Montrer que A est diagonalisable dans M 2 (C) si et seulement si a 1 a 2 = 0
1) On a, pour tout l ∈ R, x A (l) =
−l a 1
a 2 −l
= l
2
− a 1 a 2 .
2) • Si a 1 a 2 > 0, alors le polynôme x A a deux racines réelles distinctes. Il est donc
scindé à racines simples. Par conséquent A est diagonalisable dans M 2 (R),
admet deux valeurs propres distinctes et chaque sous-espace propre est de
dimension 1.
• Si a 1 a 2 < 0, alors le polynôme x A n’admet pas de racine réelle (donc il n’est
pas scindé sur R). Par conséquent, A n’est pas diagonalisable dans M 2 (R).
• Si a 1 a 2 = 0, alors x A admet 0 pour seule racine et cette racine est double. Si A
était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice diagonale de diagonale
nulle, donc la matrice nulle. Ainsi A serait la matrice nulle, ce qui n’est pas le
cas. Par conséquent, A n’est pas diagonalisable dans M 2 (R).
Conclusion : la matrice A est diagonalisable dans M 2 (R) si et seulement si
a 1 a 2 > 0.
3) • Si a 1 a 2 = 0, alors le polynôme x A a deux racines distinctes (réelles lorsque
a 1 a 2 > 0, complexes conjuguées lorsque a 1 a 2 < 0). Il est donc scindé à racines
simples. Par conséquent A est diagonalisable sur C, admet deux valeurs propres
distinctes et chaque sous-espace propre est de dimension 1.
• Si a 1 a 2 = 0, alors le raisonnement de la question précédente est encore valable.
Conclusion : la matrice A est diagonalisable dans M 2 (C) si et seulement si
a 1 a 2 = 0.
Exercice 7.9
TPE PC 2006
Déterminer a ∈ R pour que 2 soit valeur propre de A =
⎛
⎝
1 −1 0
a
1
1
0 1 + a 3
⎞
⎠ .
Montrer alors que A est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
• On vérifie facilement que x A = X
3
− 5X
2 + 6X − 2 − 2a. Le réel 2 est valeur
propre de A si et seulement si x A (2) = 0, c’est-à-dire a = −1. Dans ce cas, on a
x A = (X − 2)X (X − 3).