7.1.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.
• L’endomorphisme u est dit diagonalisable lorsque l’une des propositions équivalentes suivantes est vérifiée :
◦ il existe une base de E formée de vecteurs propres de u,
◦ on a E =
l∈Sp(u)
E l (u).
• Caractérisation des endomorphismes diagonalisables : l’endomorphisme u
est diagonalisable si, et seulement si, il vérifie l’une des propositions équivalentes suivantes :
◦
l∈Sp(u)
dim E l (u) = dim E,
◦ le polynôme x u est scindé sur K et pour toute valeur propre l, on a
dim E l (u) = m(l).
• Cas particulier important : si x u est scindé sur K et à racines simples, alors
l’endomorphisme u est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de
dimension 1.
Remarque pratique
pour déterminer dim E l (u), on étudie suivant les cas Ker (u − lId E ) (système linéaire) ou bien rg (u − lId E ) car, d’après le théorème du rang, on a
dim E l (u) = dim E − rg (u − lId E ).
• Exemples d’endomorphismes diagonalisables : les homothéties sont les
endomorphismes diagonalisables possédant une seule valeur propre, les projecteurs (resp. les symétries) sont les endomorphismes diagonalisables dont le
spectre est inclus dans {0, 1} (resp. dans {−1, 1}).
Remarque
Lorsque u est diagonalisable, on a tr u =
l∈Sp u
m(l)l et det u =
l∈Sp u
l
m(l) .
• On dit qu’une matrice M de M n (K) est diagonalisable lorsqu’elle est semblable à une matrice diagonale. Cela équivaut à l’existence d’une matrice P
inversible, dont les colonnes sont des vecteurs propres de M, telle que P
−1 M P
est diagonale.
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