Exercice 7.6
Soit A ∈ GL n (K). Exprimer le polynôme caractéristique de A
−1 en fonction de
celui de A.
Puisque A est inversible, toute valeur propre de A est non nulle. Soit l ∈ K
∗ ,
x A −1 (l) = det
A
−1
− lI n
= det
−lA
−1
−
1
l
I n + A
= (−l)
n
1
det A
det
A −
1
l
I n
= (−l)
n
1
det A
x A (
1
l
).
Conclusion : x A −1 (X ) =
(−1)
n
det A
X
n x A
1
X
. On peut remarquer que le polynôme
X
n x A
1
X
a ses coefficients écrits dans l’ordre inverse de ceux du polynôme
x A (X ) .
Exercice 7.7
Mines-Ponts PC 2007 et MP 2006
Soient A et B deux matrices de M n (C). On se propose de démontrer que AB et
B A ont le même polynôme caractéristique.
1) Démontrer le résultat lorsque la matrice A est inversible.
2) On se place maintenant dans le cas général. Soit l ∈ M n (C). Etablir que
lI n − B A B
0
lI n
I n 0
A I n
=
I n 0
A I n
lI n
B
0 lI n − AB
.
En déduire que AB et B A ont le même polynôme caractéristique.
1) Lorsque A est inversible, on a pour tout l ∈ C,
x AB (l) = det ( AB − lI n ) = det(A) det
B − lA
−1
= det
B − lA
−1
det(A) = det(B A − lI n ) = x B A (l).
Ainsi, pour tout l ∈ C, x AB (l) = x B A (l).
2) On vérifie aisément que les deux produits par blocs sont égaux à
lI n B
lA lI n
.
En prenant les déterminants, on obtient
det(lI n − B A) det(lI n ) = det(lI n ) det(lI n − AB),
c’est-à-dire, l
n x B A (l) = l
n x AB (l). On en déduit que AB et B A ont le même
polynôme caractéristique.