• On appelle ordre de multiplicité d’une valeur propre l de M, et on note m(l),
l’ordre de multiplicité de la racine l du polynôme x M .
Remarque pratique
Si l est une valeur propre complexe d’une matrice réelle, alors l est aussi valeur
propre de même ordre de multiplicité que l.
• Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. La réciproque
est fausse.
• La fonction x u :
K −→
K
l −→ det (u − lId E )
est polynomiale. Son polynôme
associé, que l’on notera également x u , est appelé le polynôme caractéristique
de u.
• Si B est une base de E et M = Mat(u, B) alors x M = x u . Ceci permet d’appliquer les définitions et propriétés précédentes à l’endomorphisme u.
• Propriétés
◦ Si F est un sous-espace stable de u, alors x u F divise x u .
◦ Pour l ∈ Sp(u), on a 1 dim E l (u) m(l).
Exercice 7.5
Quel est le spectre (réel) de la matrice réelle R =
cos u − sin u
sin u
cos u
?
Donner son polynôme caractéristique puis ses valeurs propres complexes.
La matrice R est la matrice d’une rotation d’angle u dans le plan vectoriel R
2 muni
de sa structure canonique d’espace euclidien.
En général, le spectre réel de R est l’ensemble vide car si la matrice possède une
valeur propre réelle, alors il existe une droite stable par la rotation d’angle u, ce qui
n’est le cas que si u = p (2p) (et alors Sp R (R) = {−1}) ou si u = 0 (2p) (et alors
Sp R (R) = {1}).
Calculons le polynôme caractéristique de R.
x R (X ) =
cos u − X
− sin u
sin u
cos u − X
= (cos u − X )
2 + sin
2 u
= (cos u − X + i sin u) (cos u − X − i sin u) =
X − e
iu
X − e
−iu
.
Les valeurs propres complexes de R sont e
iu et e
−iu (elles sont bien sûr conjuguées
car x R est un polynôme à coefficients réels).
Pour u /
∈ pZ, on retrouve que la matrice R n’a pas de valeur propre réelle. En
revanche, elle a deux valeurs propres complexes simples et conjuguées.
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