Chap. 7. Réduction des endomorphismes
l ∈ R tel que f (x) = lx et x est donc un vecteur propre associé à la valeur propre
l. On a nécessairement l = 0 et donc x ∈ Ker f . Ainsi, D ⊂ Ker f .
Déterminons le noyau de f . On sait que dim Ker f = 3 − rg f . Dans la
base B = (x, f (x), f
2 (x)), la matrice représentant f s’écrit
⎛
⎝
0 0 0
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠ .
Cette matrice est de rang 2 donc f est également de rang 2 et Ker f est une
droite. On a donc D = Ker f . En regardant la matrice, on se rend compte que
Ker f = R f
2 (x).
Réciproquement, Ker f = R f
2 (x) est bien une droite stable et c’est la seule.
3) Soit P un plan stable par f . L’endomorphisme f |P induit par f sur P est encore
un endomorphisme nilpotent. Comme dim P =2, on sait que l’indice de nilpotence de f |P est inférieur ou égal à 2. On a donc f
2
|P = 0 et donc P ⊂ Ker f
2 .
Déterminons maintenant le noyau de f
2 . On sait que dim Ker f
2 = 3 − rg f
2
et on a Mat( f
2 , B) =
⎛
⎝
0 0 0
0 0 0
1 0 0
⎞
⎠ . On en déduit que rg f
2 = 1 et que
Ker f
2 est un plan. On a donc P = Ker f
2 et on voit sur la matrice que
Ker f
2 = R f (x) ⊕ R f
2 (x).
Réciproquement, Ker f
2 = R f (x) ⊕ R f
2 (x) est bien un plan stable par f et c’est
le seul.
7.1.2 Polynôme caractéristique
Ce qu’il faut savoir
Soit M ∈ M n (K) et u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension
finie n.
• La fonction x M :
K −→
K
l −→ det (M − lI n )
est polynomiale. Son polynôme
associé, que l’on notera également x M , est appelé le polynôme caractéristique
de M. Il est de degré n et s’écrit
x M = (−1)
n X
n + (−1)
n−1 (tr M)X
n−1 + · · · + det M.
• Les racines dans K du polynôme caractéristique x M sont exactement les valeurs
propres de M.
Remarque
une matrice à coefficients complexes admet au moins une valeur propre dans C
et une matrice à coefficients réels d’ordre impair admet au moins une valeur
propre dans R.
• Lorsque le polynôme x M est scindé dans K[X ], avec l 1 , . . . , l n pour racines,
on a det M =
n
k=1
l k et tr M =
n
k=1
l k .