Pour qu’un polynôme P vérifie la relation (R), il faut et il suffit que la fonction
polynomiale associée vérifie sur R l’équation différentielle linéaire
(E) (x
2
− 1)y
− (2x + 1 − l)y = 0 .
Lorsque y est une fonction polynomiale, l’équation (E) est vérifiée sur R dés
qu’elle est vérifiée sur ] 1, +∞ [ . Résolvons donc cette équation sur ] 1, +∞ [ .
Elle s’écrit y
=
2x + 1 − l
x 2 − 1
y . Notons f la fonction définie sur ] 1, +∞ [
par f (x) =
2x + 1 − l
x 2 − 1
. Elle se décompose en éléments simples sous la
forme f (x) =
1 + l
2(x + 1)
+
3 − l
2(x − 1)
et, sur ] 1, +∞ [ , admet comme primitive
F : x →
1 + l
2
ln(x + 1) +
3 − l
2
ln(x − 1). Les solutions de l’équation différentielle
sont donc y = Ce
F , où C est une constante, ce qui donne y = C(x +1)
1+l
2 (x −1)
3−l
2 .
Il reste à chercher pour quelles valeurs de l cette solution est une fonction polynomiale de degré 2. Il y a trois possibilités :
•
1 + l
2
= 2 et
3 − l
2
= 0, c’est-à-dire l = 3. Ainsi l = 3 est une valeur propre de
F associé au sous-espace propre E 3 = Vect((X + 1)
2 ).
•
1 + l
2
= 1 et
3 − l
2
= 1, c’est-à-dire l = 1. Ainsi l = 1 est une valeur propre de
F associé au sous-espace propre E 1 = Vect(X − 1)(X + 1).
•
1 + l
2
= 0 et
3 − l
2
= 2, c’est-à-dire l = −1. Ainsi l = −1 est une valeur propre
de F associé au sous-espace propre E −1 = Vect((X − 1)
2 ).
Exercice 7.4
CCP PC 2006
Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) tel que f
2
= 0 et
f
3 = 0.
1) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que (x, f (x), f
2 (x)) soit une base de E.
2) Montrer que la seule droite de E stable par f est R f
2 (x).
3) Montrer que le seul plan de E stable par f est R f (x) + R f
2 (x).
1) Puisque f
2
= 0, il existe un x ∈ E tel que f
2 (x) = 0. On vérifie aisément que la
famille (x, f (x), f
2 (x)) est libre (voir exercice 3.18, page 67), donc il s’agit d’une
base de E.
2) L’endomorphisme f est nilpotent donc son spectre est réduit à {0}. Soit D une
droite stable par f et soit x un vecteur non nul de E tel que D = Rx. Il existe
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
polynomiale associée vérifie sur R l’équation différentielle linéaire
(E) (x
2
− 1)y
− (2x + 1 − l)y = 0 .
Lorsque y est une fonction polynomiale, l’équation (E) est vérifiée sur R dés
qu’elle est vérifiée sur ] 1, +∞ [ . Résolvons donc cette équation sur ] 1, +∞ [ .
Elle s’écrit y
=
2x + 1 − l
x 2 − 1
y . Notons f la fonction définie sur ] 1, +∞ [
par f (x) =
2x + 1 − l
x 2 − 1
. Elle se décompose en éléments simples sous la
forme f (x) =
1 + l
2(x + 1)
+
3 − l
2(x − 1)
et, sur ] 1, +∞ [ , admet comme primitive
F : x →
1 + l
2
ln(x + 1) +
3 − l
2
ln(x − 1). Les solutions de l’équation différentielle
sont donc y = Ce
F , où C est une constante, ce qui donne y = C(x +1)
1+l
2 (x −1)
3−l
2 .
Il reste à chercher pour quelles valeurs de l cette solution est une fonction polynomiale de degré 2. Il y a trois possibilités :
•
1 + l
2
= 2 et
3 − l
2
= 0, c’est-à-dire l = 3. Ainsi l = 3 est une valeur propre de
F associé au sous-espace propre E 3 = Vect((X + 1)
2 ).
•
1 + l
2
= 1 et
3 − l
2
= 1, c’est-à-dire l = 1. Ainsi l = 1 est une valeur propre de
F associé au sous-espace propre E 1 = Vect(X − 1)(X + 1).
•
1 + l
2
= 0 et
3 − l
2
= 2, c’est-à-dire l = −1. Ainsi l = −1 est une valeur propre
de F associé au sous-espace propre E −1 = Vect((X − 1)
2 ).
Exercice 7.4
CCP PC 2006
Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) tel que f
2
= 0 et
f
3 = 0.
1) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que (x, f (x), f
2 (x)) soit une base de E.
2) Montrer que la seule droite de E stable par f est R f
2 (x).
3) Montrer que le seul plan de E stable par f est R f (x) + R f
2 (x).
1) Puisque f
2
= 0, il existe un x ∈ E tel que f
2 (x) = 0. On vérifie aisément que la
famille (x, f (x), f
2 (x)) est libre (voir exercice 3.18, page 67), donc il s’agit d’une
base de E.
2) L’endomorphisme f est nilpotent donc son spectre est réduit à {0}. Soit D une
droite stable par f et soit x un vecteur non nul de E tel que D = Rx. Il existe
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit