Chap. 7. Réduction des endomorphismes
Cherchons V =
t
(x, y, z, t) tel que AV = i V . Cela s’écrit
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 −1
0
0 0
0 −1
1 0
0
0
0 1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎟
⎠ = i
⎛
⎜
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎟
⎠ ⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
−z = i x
−t = iy
x = i z
y = it
⇐⇒
x = i z
y = it
.
Ainsi V ∈ Ker( A − i I 4 ) si et seulement si il existe (z, t) ∈ C
2 tel que V =
⎛
⎜
⎜
⎝
i z
it
z
t
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Finalement Ker( A −i I 4 ) = Vect(
⎛
⎜
⎜
⎝
i
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎜
⎝
0
i
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠ ). En résolvant le système AV = −i V ,
on vérifie de la même façon que Ker( A + i I 4 ) = Vect(
⎛
⎜
⎜
⎝
−i
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎜
⎝
0
−i
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠ ). Comme la
somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace
vectoriel C
4 , il n’y pas d’autre sous-espace propre.
Remarques
• On aurait pu remarquer que A ∈ M 4 (R) et utiliser que AV = i V ⇔ AV = −i V .
• On aurait pu également effectuer un résolution à l’aide d’une écriture par blocs
V =
X
Y
où X et Y sont dans M 2,1 (C).
Exercice 7.3
CCP PSI 2007, Centrale PSI 2007
Soit F l’endomorphisme de R[X ] défini par F(P) = (2X + 1)P − (X
2
− 1)P
.
Déterminer les éléments propres de F.
Indication de la rédaction : on remarquera que, pour tout l ∈ R et tout x = ±1,
on a
2x + 1 − l
x 2 − 1
=
1 + l
2(x + 1)
+
3 − l
2(x − 1)
.
Une condition nécessaire et suffisante pour que l ∈ R soit valeur propre de f est
qu’il existe un polynôme P distinct du polynôme nul tel que (R) : F(P) = lP.
La relation (R) s’écrit (X
2
− 1)P
− (2X + 1 − l)P = 0. Le polynôme P est de la
forme P = a n X
n + · · · + a 0 , où n est le degré de P, et où a n est un réel non nul. Le
coefficient de X
n+1 dans le polynôme Q = (X
2
− 1)P
− (2X + 1 − l)P est alors
égal à (n − 2)a n , et puisque Q est le polynôme nul, on a nécessairement n = 2 : le
polynôme P est de degré 2.
Cherchons V =
t
(x, y, z, t) tel que AV = i V . Cela s’écrit
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 −1
0
0 0
0 −1
1 0
0
0
0 1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎟
⎠ = i
⎛
⎜
⎜
⎝
x
y
z
t
⎞
⎟
⎟
⎠ ⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
−z = i x
−t = iy
x = i z
y = it
⇐⇒
x = i z
y = it
.
Ainsi V ∈ Ker( A − i I 4 ) si et seulement si il existe (z, t) ∈ C
2 tel que V =
⎛
⎜
⎜
⎝
i z
it
z
t
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Finalement Ker( A −i I 4 ) = Vect(
⎛
⎜
⎜
⎝
i
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎜
⎝
0
i
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠ ). En résolvant le système AV = −i V ,
on vérifie de la même façon que Ker( A + i I 4 ) = Vect(
⎛
⎜
⎜
⎝
−i
0
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
⎜
⎝
0
−i
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠ ). Comme la
somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace
vectoriel C
4 , il n’y pas d’autre sous-espace propre.
Remarques
• On aurait pu remarquer que A ∈ M 4 (R) et utiliser que AV = i V ⇔ AV = −i V .
• On aurait pu également effectuer un résolution à l’aide d’une écriture par blocs
V =
X
Y
où X et Y sont dans M 2,1 (C).
Exercice 7.3
CCP PSI 2007, Centrale PSI 2007
Soit F l’endomorphisme de R[X ] défini par F(P) = (2X + 1)P − (X
2
− 1)P
.
Déterminer les éléments propres de F.
Indication de la rédaction : on remarquera que, pour tout l ∈ R et tout x = ±1,
on a
2x + 1 − l
x 2 − 1
=
1 + l
2(x + 1)
+
3 − l
2(x − 1)
.
Une condition nécessaire et suffisante pour que l ∈ R soit valeur propre de f est
qu’il existe un polynôme P distinct du polynôme nul tel que (R) : F(P) = lP.
La relation (R) s’écrit (X
2
− 1)P
− (2X + 1 − l)P = 0. Le polynôme P est de la
forme P = a n X
n + · · · + a 0 , où n est le degré de P, et où a n est un réel non nul. Le
coefficient de X
n+1 dans le polynôme Q = (X
2
− 1)P
− (2X + 1 − l)P est alors
égal à (n − 2)a n , et puisque Q est le polynôme nul, on a nécessairement n = 2 : le
polynôme P est de degré 2.