Éléments propres d’une matrice
Soient n ∈ N
∗ et M ∈ M n (K).
• On dit que l ∈ K est valeur propre de M lorsqu’il existe X ∈ M n,1 (R) non nul
tel que M X = lX . Ce vecteur X est appelé vecteur propre de M associé à la
valeur propre l.
• Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E, u un
endomorphisme de E et M = Mat(u, B). Les valeurs propres de u et de M
sont identiques, et x est vecteur propre de u pour la valeur propre l si et seulement si X = Mat(x, B) est vecteur propre de M pour la valeur propre l. On
peut donc appliquer à la matrice M les définitions et les propriétés concernant
l’endomorphisme u.
• Si M ∈ M n (R), alors on peut la considérer comme une matrice de M n (C). Un
complexe l est une valeur propre complexe de M si et seulement si il existe
X ∈ M n,1 (C) tel que M X = lX . On distingue donc le spectre réel, Sp R (M) et
le spectre complexe, Sp C (M) qui le contient.
• Si M ∈ M n (R) et si l est une valeur propre complexe de M, alors l est également une valeur propre de M, et E l (M) = E l (M) = {X | X ∈ E l (M)}.
Exercice 7.1
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme
c :
C
∞ (R, R) −→ C
∞ (R, R)
f
−→
f
.
Soit l ∈ R. On cherche les fonctions non nulles f ∈ C
∞ (R, R) telles que f
= l f .
Si l > 0, E l (c) = Vect
t → ch
√
lt
, t → sh
√
lt
.
Si l < 0, E l (c) = Vect
t → cos
√ −lt
, t → sin
√
−lt
.
Si l = 0, il s’agit de Vect (t → t, t → 1) =
t → at + b, (a, b) ∈ R
2
.
Ainsi, Sp(c) = R.
Exercice 7.2
Soit F l’endomorphisme qui a pour matrice dans la base canonique de C
4 ,
A =
0 2 −I 2
I 2
0 2
.
En appliquant la définition, montrer que i et −i sont des valeurs propres de F
et déterminer les vecteurs propres associés. En déduire tous les sous-espaces
propres de A.
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