7 Réduction
des endomorphismes
Dans tout ce chapitre E est un K-espace vectoriel où K = R ou C.
7.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
7.1.1 Valeurs et vecteurs propres
Ce qu’il faut savoir
Éléments propres d’un endomorphisme
Soit u ∈ L(E).
• Un scalaire l ∈ K est une valeur propre de u lorsqu’il existe un vecteur
x = 0 E de E tel que u(x) = lx. Ce vecteur x est appelé vecteur propre
associé à la valeur propre l.
Remarque
Le vecteur nul n’est pas un vecteur propre de u.
• L’ensemble des valeurs propres de u est appelé le spectre de u, on le note Sp(u).
• Pour tout l ∈ K, on note E l (u) = Ker(u − l Id E ). Si l ∈ Sp(u), alors E l (u) est
constitué du vecteur nul et des vecteurs propres de valeur propre l. On l’appelle
sous-espace propre associé à l. Si l /
∈ Sp(u), alors E l (u) = {0 E }.
• Le scalaire l appartient à Sp(u) si et seulement si u − l Id E est non injectif. En
particulier 0 est valeur propre de u si et seulement si u est non injectif.
• Les vecteurs propres et les valeurs propres sont souvent appelés les éléments
propres de u.
• Propriété importante : si l 1 , . . . , l p sont p valeurs propres distinctes de u,
alors la somme E l 1 + · · · + E l p est directe. Ainsi des vecteurs propres associés
à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. En particulier,
dans un espace de dimension n, il ne peut y avoir plus de n valeurs propres
distinctes.
• Une droite est stable par u si et seulement si cette droite est incluse dans un
sous-espace propre, ou encore, ce qui revient au même, un vecteur directeur de
cette droite est un vecteur propre.