On en déduit finalement :
A
−1 =
1
(a − b)(a + (n − 1)b)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a + (n − 2)b
−b
· · ·
−b
−b
a+ (n − 2)b
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
−b
−b
· · ·
−b a + (n − 2)b
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Exercice 6.8
TPE MP 2005
Résoudre dans Z/37Z le système
6x + 7y = 30
3x − 7y = 0
Il s’agit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues x, y ∈ Z/37Z
qui est un corps, puisque 37 est un nombre premier.
Le déterminant du système D = − 63 = 11 est non nul. La relation de Bézout
11 × 27 − 37 × 8 = 1 montre que l’inverse de 11 est 27 = −10.
Il s’agit d’un système de Cramer ; il admet donc une solution unique que l’on peut
calculer grâce aux formules de Cramer :
x =
1
D
30 7
0 −7
= +10 × 30 × 7 = −10 × 7 2 = −490 = 28.
y =
1
D
6 30
3 0
= +10 × 30 × 3 = −10 × 7 × 3 = −210 = 12.
On peut vérifier avec Maple : l’instruction msolve({6*x+7*y=30,3*x-7*y},37)
donne (y=12,x=28).
A
−1 =
1
(a − b)(a + (n − 1)b)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a + (n − 2)b
−b
· · ·
−b
−b
a+ (n − 2)b
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
−b
−b
· · ·
−b a + (n − 2)b
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Exercice 6.8
TPE MP 2005
Résoudre dans Z/37Z le système
6x + 7y = 30
3x − 7y = 0
Il s’agit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues x, y ∈ Z/37Z
qui est un corps, puisque 37 est un nombre premier.
Le déterminant du système D = − 63 = 11 est non nul. La relation de Bézout
11 × 27 − 37 × 8 = 1 montre que l’inverse de 11 est 27 = −10.
Il s’agit d’un système de Cramer ; il admet donc une solution unique que l’on peut
calculer grâce aux formules de Cramer :
x =
1
D
30 7
0 −7
= +10 × 30 × 7 = −10 × 7 2 = −490 = 28.
y =
1
D
6 30
3 0
= +10 × 30 × 3 = −10 × 7 × 3 = −210 = 12.
On peut vérifier avec Maple : l’instruction msolve({6*x+7*y=30,3*x-7*y},37)
donne (y=12,x=28).