Chap. 6. Équations linéaires
1) Calculons le déterminant de A. En ajoutant les n − 1 dernières colonnes à la
première colonne de A, on fait apparaître le facteur a + (n − 1)b et on a donc
det(A) = (a + (n − 1)b)
1 b . . . b
1 a
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . b
1 . . . b a
. En retranchant la première ligne au suivantes, on obtient det(A) =
1
b
. . .
b
0 a − b 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . . a − b
et en développant par rapport à
la première colonne, on obtient det(A) = (a + (n − 1)b)(a − b)
n−1 . Il en résulte que
A est inversible si et seulement si a = b et a = (1 − n)b.
2) Soient X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ et Y =
⎛
⎜
⎝
y 1
. . .
y n
⎞
⎟
⎠ dans M n,1 (C) et cherchons à résoudre le
système de Cramer
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ax 1 + bx 2 + · · · + bx n = y 1
bx 1 + ax 2 + · · · + bx n = y 2
. . .
bx 1 + bx 2 + · · · + ax n = y n
à l’aide d’opérations élémentaires sur les équations. En les additionnant, on obtient
(a + (n − 1)b)(x 1 + · · · + x n ) = y 1 + · · · + y n ,
d’où (1) x 1 + · · · + x n =
1
a + (n − 1)b
(y 1 + · · · + y n ), puis
b(x 1 + · · · + x n ) =
b
a + (n − 1)b
(y 1 + · · · + y n ).
En retranchant cette équation à chacune des équations du système, on obtient
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(a − b)x 1 = y 1 −
b
a + (n − 1)b
(y 1 + · · · + y n )
(a − b)x 2 = y 2 −
b
a + (n − 1)b
(y 1 + · · · + y n )
. . .
. . . . . .
(a − b)x n = y n −
b
a + (n − 1)b
(y 1 + · · · + y n )
On en déduit x i =
1
b − a
y i −
b
(b − a)(a + (n − 1)b)
(y 1 + · · · + y n ) pour tout
i ∈ [[1, n]]. On a donc aussi , pour tout i ∈ [[1, n]],
x i =
−by 1 − · · · − by i−1 + (a + (n − 2)b)y i − by i+1 − · · · − by n
(a − b)(a + (n − 1)b)
.