On sait de plus qu’une telle suite est déterminée par ses deux premiers termes u 0 et
u 1 . De façon précise, pour tout (x 0 , x 1 ) ∈ C
2 il existe une unique suite (u i ) ∈ S telle
que u 0 = x 0 et u 1 = x 1 .
Soit alors (u i ) i∈N une suite appartenant à S. Si u 0 = u n+1 = 0, alors (u 1 , . . . , u n ) est
solution du système (S). Réciproquement si (x 1 , . . . , x n ) est une solution de S, alors
la suite (u i ) i∈N ∈ S définie par ses deux premiers termes u 0 = 0 et u 1 = x 1 vérifie
u n+1 = 0.
Supposons d’abord k = ±1. Les relations u 0 = u n+1 = 0 s’écrivent
(S
)
a + b
= 0
ak
n+1 + b
1
k n+1 = 0
Lorsque k
2n+2
= 1, il s’agit d’un système de Cramer. On a a = b = 0, d’où u i = 0
pour tout i ∈ N et (S) admet la seule solution (x 1 , . . . , x n ) = (0, . . . , 0). (C’est un
système de Cramer).
Lorsque k
2n+2 = 1 (S
) est un système de rang 1. Ses solutions sont les couples de
la forme (a, −a), a ∈ C et les suites u n sont de la forme u i = a(−1)
i
k
i
−
1
k
i
.
Les solutions de (S) sont de la forme a
−
k −
1
k
, . . . , (−1)
n
k
n
−
1
k
n
. (Il
s’agit donc d’un système dont le rang est égal à n − 1).
Dans la cas où k = ±1, les relations u 0 = u n+1 = 0 s’écrivent
(S
)
a
= 0
a + b(n + 1) = 0
On obtient donc a = b = 0 et le système (S) admet l’unique solution nulle (c’est un
système de Cramer).
Exercice 6.7
Mines-Ponts MP 2007
1) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Donner une condition nécessaire et
suffisante sur (a, b) ∈ C
2 pour que A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a b · · · b
b a
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . b
b · · · b a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
soit inversible dans
M n (C).
2) Calculer A
−1 dans ce cas.
Indication de la rédaction : pour la question 2) on pourra chercher à résoudre le
système linéaire Y = AX, avec Y =
t (y 1 , . . . , y n ) et X =
t (x 1 , . . . , x n ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
u 1 . De façon précise, pour tout (x 0 , x 1 ) ∈ C
2 il existe une unique suite (u i ) ∈ S telle
que u 0 = x 0 et u 1 = x 1 .
Soit alors (u i ) i∈N une suite appartenant à S. Si u 0 = u n+1 = 0, alors (u 1 , . . . , u n ) est
solution du système (S). Réciproquement si (x 1 , . . . , x n ) est une solution de S, alors
la suite (u i ) i∈N ∈ S définie par ses deux premiers termes u 0 = 0 et u 1 = x 1 vérifie
u n+1 = 0.
Supposons d’abord k = ±1. Les relations u 0 = u n+1 = 0 s’écrivent
(S
)
a + b
= 0
ak
n+1 + b
1
k n+1 = 0
Lorsque k
2n+2
= 1, il s’agit d’un système de Cramer. On a a = b = 0, d’où u i = 0
pour tout i ∈ N et (S) admet la seule solution (x 1 , . . . , x n ) = (0, . . . , 0). (C’est un
système de Cramer).
Lorsque k
2n+2 = 1 (S
) est un système de rang 1. Ses solutions sont les couples de
la forme (a, −a), a ∈ C et les suites u n sont de la forme u i = a(−1)
i
k
i
−
1
k
i
.
Les solutions de (S) sont de la forme a
−
k −
1
k
, . . . , (−1)
n
k
n
−
1
k
n
. (Il
s’agit donc d’un système dont le rang est égal à n − 1).
Dans la cas où k = ±1, les relations u 0 = u n+1 = 0 s’écrivent
(S
)
a
= 0
a + b(n + 1) = 0
On obtient donc a = b = 0 et le système (S) admet l’unique solution nulle (c’est un
système de Cramer).
Exercice 6.7
Mines-Ponts MP 2007
1) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Donner une condition nécessaire et
suffisante sur (a, b) ∈ C
2 pour que A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a b · · · b
b a
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . b
b · · · b a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
soit inversible dans
M n (C).
2) Calculer A
−1 dans ce cas.
Indication de la rédaction : pour la question 2) on pourra chercher à résoudre le
système linéaire Y = AX, avec Y =
t (y 1 , . . . , y n ) et X =
t (x 1 , . . . , x n ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit