Chap. 6. Équations linéaires
Désignons par u le point fixe de l’application affine x → ax + b, c’est-à-dire
u =
b
1 − a
et posons x
i = x i − u (1 i n).
Le système s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
1 = ax
n
x
2 = ax
1
. . .
x
n = ax
n−1
Il s’agit d’un système linéaire homogène : il admet donc au moins la solution nulle.
Les n − 1 dernières équations permettent d’exprimer x
2 , . . . , x
n à l’aide de x
1 :
x
2 = ax
1 , . . . , x
n = a
n−1 x
1 .
La première équation s’écrit alors x
1 = a
n x
1 . Si a
n = 1, c’est-à-dire si a est
une racine n-ième de l’unité distincte de 1, alors les solutions sont de la forme
x
1 (1, a, . . . , a
n−1 ) où x
1 est un nombre complexe arbitraire, tandis que si a n’est
pas une racine de l’unité, le système admet la seule solution nulle.
En conclusion : si a est une racine n-ième de l’unité distincte de 1, alors les solutions
sont de la forme A(1, a, . . . , a
n−1 ) + u(1, 1, . . . , 1) où A est une constante complexe
arbitraire. Sinon, le système admet la seule solution constante : u = (1, . . . , 1).
Exercice 6.6
Centrale MP, PC 2006
Soit k ∈ C
∗ et (S) le système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(1 + k
2 )x 1 + kx 2
= 0
. . .
kx i−1 + (1 + k
2 )x i + kx i+1 = 0
. . .
kx n−1 + (1 + k
2 )x n
= 0
(2 i n − 1)
Résoudre (S) en utilisant une suite (u i ) i∈N solution de la récurrence
ku i−1 + (1 + k
2 )u i + ku i+1 = 0.
Commençons par déterminer l’ensemble S des suites (u i ) i∈N solutions de la relation
de récurrence linéaire ku i−1 + (1 + k
2 )u i + ku i+1 = 0. Le discriminant de l’équation
caractéristique kr
2 +(1+k
2 )r +k = 0 est D = (1+k
2 )
2
−4k
2 = (1−k
2 )
2 . Si k = ±1,
alors l’équation admet deux racines complexes distinctes r 1 = −k et r 2 = −
1
k
et les
éléments de S sont les combinaisons linéaires des suites géométriques de raisons
respectives −k et −
1
k
.
Si k = 1 ou k = −1, alors l’équation caractéristique admet la racine double −k les
éléments de S sont les suites de la forme ∀i ∈ N, u i = (a + bi)(−k)
i , où a et b sont
deux constantes complexes arbitraires.
Désignons par u le point fixe de l’application affine x → ax + b, c’est-à-dire
u =
b
1 − a
et posons x
i = x i − u (1 i n).
Le système s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
1 = ax
n
x
2 = ax
1
. . .
x
n = ax
n−1
Il s’agit d’un système linéaire homogène : il admet donc au moins la solution nulle.
Les n − 1 dernières équations permettent d’exprimer x
2 , . . . , x
n à l’aide de x
1 :
x
2 = ax
1 , . . . , x
n = a
n−1 x
1 .
La première équation s’écrit alors x
1 = a
n x
1 . Si a
n = 1, c’est-à-dire si a est
une racine n-ième de l’unité distincte de 1, alors les solutions sont de la forme
x
1 (1, a, . . . , a
n−1 ) où x
1 est un nombre complexe arbitraire, tandis que si a n’est
pas une racine de l’unité, le système admet la seule solution nulle.
En conclusion : si a est une racine n-ième de l’unité distincte de 1, alors les solutions
sont de la forme A(1, a, . . . , a
n−1 ) + u(1, 1, . . . , 1) où A est une constante complexe
arbitraire. Sinon, le système admet la seule solution constante : u = (1, . . . , 1).
Exercice 6.6
Centrale MP, PC 2006
Soit k ∈ C
∗ et (S) le système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(1 + k
2 )x 1 + kx 2
= 0
. . .
kx i−1 + (1 + k
2 )x i + kx i+1 = 0
. . .
kx n−1 + (1 + k
2 )x n
= 0
(2 i n − 1)
Résoudre (S) en utilisant une suite (u i ) i∈N solution de la récurrence
ku i−1 + (1 + k
2 )u i + ku i+1 = 0.
Commençons par déterminer l’ensemble S des suites (u i ) i∈N solutions de la relation
de récurrence linéaire ku i−1 + (1 + k
2 )u i + ku i+1 = 0. Le discriminant de l’équation
caractéristique kr
2 +(1+k
2 )r +k = 0 est D = (1+k
2 )
2
−4k
2 = (1−k
2 )
2 . Si k = ±1,
alors l’équation admet deux racines complexes distinctes r 1 = −k et r 2 = −
1
k
et les
éléments de S sont les combinaisons linéaires des suites géométriques de raisons
respectives −k et −
1
k
.
Si k = 1 ou k = −1, alors l’équation caractéristique admet la racine double −k les
éléments de S sont les suites de la forme ∀i ∈ N, u i = (a + bi)(−k)
i , où a et b sont
deux constantes complexes arbitraires.