1) On fait une démonstration par récurrence sur l’entier n.
La propriété est évidente pour n = 1 : si f 1 est non nulle, alors il existe x 1 ∈ R
tel que f 1 (x 1 ) = 0.
Pour n 2, supposons la propriété vérifiée à l’ordre n − 1 et soient f 1 , . . . , f n des
fonctions de R dans R formant une famille libre. La famille f 1 , . . . , f n−1 est elle
aussi libre et l’hypothèse de récurrence montre qu’il existe (x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ R
n−1
tel que
D n = det( f i (x j )) 1i, jn−1 = 0.
Considérons alors l’application w : R → R définie par
∀x ∈ R w(x) =
f 1 (x 1 ) . . .
f 1 (x n−1 )
f 1 (x)
. . .
. . .
. . .
f n−1 (x 1 ) . . . f n−1 (x n−1 ) f n−1 (x)
f n (x 1 ) . . .
f n (x n−1 )
f n (x)
.
En développant ce déterminant par rapport à sa dernière colonne, on voit qu’il
existe des réels l 1 , . . . , l n tels que
∀x ∈ R, w(x) = l f 1 (x) + · · · + l n−1 f n−1 (x) + l n f n (x).
c’est-à-dire w = l f 1 + · · · + l n−1 f n−1 + l n f n , avec l n = D n = 0.
Comme la famille f 1 , . . . , f n est libre, w est non nulle. Il existe donc x n ∈ R tel
que w(x n ) = 0, ce qui démontre que la propriété est vérifiée à l’ordre n.
2) Supposons maintenant qu’il existe (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n tel que
det( f i (x j )) 1i, jn = 0
Démontrons que la famille ( f 1 , . . . , f n ) est libre. Soient pour cela l 1 , . . . , l n des
nombres réels tels que l 1 f 1 + · · · + l n f n = 0. On a alors
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
l 1 f 1 (x 1 ) + · · · + l n f n (x 1 ) = 0
l 1 f 1 (x 2 ) + · · · + l n f n (x 2 ) = 0
. . . . . .
l 1 f 1 (x n ) + · · · + l n f n (x n ) = 0
Le n-uplet (l 1 , . . . , l n ) apparaît alors comme solution d’un système linéaire
homogène de Cramer. On a donc l 1 = · · · = l n = 0, ce qui démontre bien que la
famille ( f 1 , . . . , f n ) est libre.
Exercice 6.5
TPE MP 2005 Ã
Soit a ∈ C \ {1} et b ∈ C. Résoudre le système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 = ax n + b
x 2 = ax 1 + b
. . .
x n = ax n−1 + b
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
La propriété est évidente pour n = 1 : si f 1 est non nulle, alors il existe x 1 ∈ R
tel que f 1 (x 1 ) = 0.
Pour n 2, supposons la propriété vérifiée à l’ordre n − 1 et soient f 1 , . . . , f n des
fonctions de R dans R formant une famille libre. La famille f 1 , . . . , f n−1 est elle
aussi libre et l’hypothèse de récurrence montre qu’il existe (x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ R
n−1
tel que
D n = det( f i (x j )) 1i, jn−1 = 0.
Considérons alors l’application w : R → R définie par
∀x ∈ R w(x) =
f 1 (x 1 ) . . .
f 1 (x n−1 )
f 1 (x)
. . .
. . .
. . .
f n−1 (x 1 ) . . . f n−1 (x n−1 ) f n−1 (x)
f n (x 1 ) . . .
f n (x n−1 )
f n (x)
.
En développant ce déterminant par rapport à sa dernière colonne, on voit qu’il
existe des réels l 1 , . . . , l n tels que
∀x ∈ R, w(x) = l f 1 (x) + · · · + l n−1 f n−1 (x) + l n f n (x).
c’est-à-dire w = l f 1 + · · · + l n−1 f n−1 + l n f n , avec l n = D n = 0.
Comme la famille f 1 , . . . , f n est libre, w est non nulle. Il existe donc x n ∈ R tel
que w(x n ) = 0, ce qui démontre que la propriété est vérifiée à l’ordre n.
2) Supposons maintenant qu’il existe (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n tel que
det( f i (x j )) 1i, jn = 0
Démontrons que la famille ( f 1 , . . . , f n ) est libre. Soient pour cela l 1 , . . . , l n des
nombres réels tels que l 1 f 1 + · · · + l n f n = 0. On a alors
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
l 1 f 1 (x 1 ) + · · · + l n f n (x 1 ) = 0
l 1 f 1 (x 2 ) + · · · + l n f n (x 2 ) = 0
. . . . . .
l 1 f 1 (x n ) + · · · + l n f n (x n ) = 0
Le n-uplet (l 1 , . . . , l n ) apparaît alors comme solution d’un système linéaire
homogène de Cramer. On a donc l 1 = · · · = l n = 0, ce qui démontre bien que la
famille ( f 1 , . . . , f n ) est libre.
Exercice 6.5
TPE MP 2005 Ã
Soit a ∈ C \ {1} et b ∈ C. Résoudre le système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 = ax n + b
x 2 = ax 1 + b
. . .
x n = ax n−1 + b
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit