Chap. 6. Équations linéaires
En retranchant la première équation on obtient x(1 − l) =
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
− 1, d’ou
x =
1
l − 1
1 −
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
On obtient de la même façon y =
1
l − 1
m −
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
,
z =
1
l − 1
m
2
−
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
et t =
1
l − 1
m
3
−
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
.
• Deuxième cas : Supposons l = 1. Le système s’écrit x+y+z+t = 1 = m = m
2 = m
3 .
Il est compatible si et seulement si m = 1 et l’ensemble des solutions est l’hyperplan
affine d’équation x + y + z + t = 1.
• Troisième cas : supposons enfin l = −3. L’opération élémentaire [L 4 ← L 4 +L 1 +L 2 +L 3 ]
montre que le système équivaut à
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
−3x + y + z + t =
1
x − 3y + z + t =
m
x + y − 3z + t =
m
2
0
= 1 + m + m
2 + m
3
Le système est compatible si et seulement si 1 + m + m
2 + m
3 = 0, c’est-à-dire si et
seulement si m ∈ {−1, i , −i }.
On peut choisir t arbitrairement dans C et pour tout t ∈ C, (x, y, z) est la solution du
système de Cramer
⎧
⎨
⎩
−3x + y + z = 1 − t
x − 3y + z = m − t
x + y − 3z = m
2
− t
En sommant les trois équations, il vient −x − y − z = 1 + m + m
2
− 3t, d’où
−4x = 2 + m + m
2
− 4t et x = −
1
4
(2 + m + m
2 ) + t. On trouve de même
y = −
1
2
(1 + 2m + m
2 ) + t et z =
1
2
(1 + m + 2m
2 ) + t. L’ensemble des solutions est la
droite affine passant par −
1
4
(2 + m + m
2 , 1 + 2m + m
2 , 1 + m + 2m
2 , 0) et dirigée par le
vecteur (1, 1, 1, 1).
Exercice 6.4
Mines-Ponts MP 2005, Ecole polytechnique PSI 2006 Ã Ã
1) Soient n ∈ N
∗ , f 1 , . . . , f n des fonctions de R dans R formant une
famille libre de F(R, R). Montrer qu’il existe (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n tel que
det( f i (x j )) 1i, jn = 0.
2) Réciproque ?