Remarquons que les racines du polynôme P = X
3
−X +1 sont deux à deux distinctes,
puisque les racines du polynôme dérivé P
= 3X
2
− 1, x 1 =
1
√
3
et x 2 = −
1
√
3
ne
sont pas racines de P. Le déterminant D du système est un déterminant de Vandermonde : D = (c − a)(c − b)(b − a). Il est non nul et le système est donc de Cramer :
il admet une unique solution (x, y, z) ∈ C
3 .
Les relations usuelles entre les coefficients et les racines de P montrent que
a+b+c = 0, a
2 +b
2 +c
2 = (a+b+c)
2
−2(ab+bc+ca)−2 et a
3 +b
3 +c
3 = a+b+c−3 = −3.
Donc (a, b, c) est l’unique solution du système.
Exercice 6.3
Centrale PSI 2006
Soit (l, m) ∈ C
2 . Résoudre dans C
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
lx + y + z + t = 1
x + ly + z + t = m
x + y + lz + t = m
2
x + y + z + lt = m
3
Soit D déterminant du système. On calcule
D =
l 1 1 1
1 l 1 1
1 1 l 1
1 1 1 l
L 1 ← L 1 + L 2 + L 3 + L 4
= (l + 3)
1 1 1 1
1 l 1 1
1 1 l 1
1 1 1 l
L 2 ← L 2 − L 1
L 3 ← L 3 − L 1
L 4 ← L 4 − L 1
= (l + 3)
1
1
1
1
0 l − 1
0
0
0
0
l − 1
0
0
0
0
l − 1
= (l + 3)(l − 1)
3
• Premier cas : Supposons l = −3 et l = 1. Le système est de Cramer. Il admet une
unique solution.
En sommant les quatre équations on obtient
(l + 3)(x + y + z + t) = 1 + m + m
2 + m
3 d’où x + y + z + t =
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3
−X +1 sont deux à deux distinctes,
puisque les racines du polynôme dérivé P
= 3X
2
− 1, x 1 =
1
√
3
et x 2 = −
1
√
3
ne
sont pas racines de P. Le déterminant D du système est un déterminant de Vandermonde : D = (c − a)(c − b)(b − a). Il est non nul et le système est donc de Cramer :
il admet une unique solution (x, y, z) ∈ C
3 .
Les relations usuelles entre les coefficients et les racines de P montrent que
a+b+c = 0, a
2 +b
2 +c
2 = (a+b+c)
2
−2(ab+bc+ca)−2 et a
3 +b
3 +c
3 = a+b+c−3 = −3.
Donc (a, b, c) est l’unique solution du système.
Exercice 6.3
Centrale PSI 2006
Soit (l, m) ∈ C
2 . Résoudre dans C
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
lx + y + z + t = 1
x + ly + z + t = m
x + y + lz + t = m
2
x + y + z + lt = m
3
Soit D déterminant du système. On calcule
D =
l 1 1 1
1 l 1 1
1 1 l 1
1 1 1 l
L 1 ← L 1 + L 2 + L 3 + L 4
= (l + 3)
1 1 1 1
1 l 1 1
1 1 l 1
1 1 1 l
L 2 ← L 2 − L 1
L 3 ← L 3 − L 1
L 4 ← L 4 − L 1
= (l + 3)
1
1
1
1
0 l − 1
0
0
0
0
l − 1
0
0
0
0
l − 1
= (l + 3)(l − 1)
3
• Premier cas : Supposons l = −3 et l = 1. Le système est de Cramer. Il admet une
unique solution.
En sommant les quatre équations on obtient
(l + 3)(x + y + z + t) = 1 + m + m
2 + m
3 d’où x + y + z + t =
1 + m + m
2 + m
3
l + 3
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit