la matrice obtenue en remplaçant la i-ième colonne de A par le second membre
B. On a alors x i =
D i
D
.
6.2 EXERCICES
Exercice 6.1
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 et soit p un projecteur de
E. Montrer que l’ensemble des endomorphismes f de E tels que f ◦ p = p est
un sous-espace affine de E et donner sa dimension.
L’application F : f → f ◦ p est une application linéaire de l’espace vectoriel L(E)
dans lui même. L’exercice consiste à résoudre l’équation linéaire
F( f ) = p
(*)
On dispose d’une solution particulière évidente : f = p. L’ensemble S de ses solutions est donc le sous-espace affine p + S H de L(E) où S H = Ker(F) est l’ensemble
des endomorphismes f de E tels que f ◦ p = 0.
C’est un sous-espace vectoriel de L(E). Pour déterminer sa dimension, observons
d’abord que la relation f ◦ p = 0 équivaut à l’inclusion de Im( p) dans le noyau K
de f . Introduisons alors une base B = (e 1 , . . . , e r , e r+1 , . . . , e n ) de E où (e 1 , . . . , e r )
est une base de Im( p) et (e r+1 , . . . , e n ) une base de Ker( p). Pour que l’image de p soit
inclus dans le noyau de f , il faut et il suffit que f (e i ) = 0 pour tout i ∈ {1, . . . , p}.
Cette condition est caractérisée par le fait que la matrice de f dans la base B est de
la forme
M =
0 M 1
où 0 désigne la matrice nulle de M n, p (K) et M 1 une matrice arbitraire dans
M n,n− p (K).
Comme l’application qui à f ∈ L(E) associe sa matrice dans la base B est un isomorphisme, la dimension de Ker(F) est égale à celle de l’espace vectoriel M n,n− p (K),
c’est-à-dire n(n − p).
Exercice 6.2
Mines-Ponts PSI 2006
Soient a, b et c les racines du polynôme X
3
− X + 1. Résoudre le système
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x + y + z = 0
ax + by + cz = 2
a
2 x + b
2 y + c
2 z = −3
B. On a alors x i =
D i
D
.
6.2 EXERCICES
Exercice 6.1
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 et soit p un projecteur de
E. Montrer que l’ensemble des endomorphismes f de E tels que f ◦ p = p est
un sous-espace affine de E et donner sa dimension.
L’application F : f → f ◦ p est une application linéaire de l’espace vectoriel L(E)
dans lui même. L’exercice consiste à résoudre l’équation linéaire
F( f ) = p
(*)
On dispose d’une solution particulière évidente : f = p. L’ensemble S de ses solutions est donc le sous-espace affine p + S H de L(E) où S H = Ker(F) est l’ensemble
des endomorphismes f de E tels que f ◦ p = 0.
C’est un sous-espace vectoriel de L(E). Pour déterminer sa dimension, observons
d’abord que la relation f ◦ p = 0 équivaut à l’inclusion de Im( p) dans le noyau K
de f . Introduisons alors une base B = (e 1 , . . . , e r , e r+1 , . . . , e n ) de E où (e 1 , . . . , e r )
est une base de Im( p) et (e r+1 , . . . , e n ) une base de Ker( p). Pour que l’image de p soit
inclus dans le noyau de f , il faut et il suffit que f (e i ) = 0 pour tout i ∈ {1, . . . , p}.
Cette condition est caractérisée par le fait que la matrice de f dans la base B est de
la forme
M =
0 M 1
où 0 désigne la matrice nulle de M n, p (K) et M 1 une matrice arbitraire dans
M n,n− p (K).
Comme l’application qui à f ∈ L(E) associe sa matrice dans la base B est un isomorphisme, la dimension de Ker(F) est égale à celle de l’espace vectoriel M n,n− p (K),
c’est-à-dire n(n − p).
Exercice 6.2
Mines-Ponts PSI 2006
Soient a, b et c les racines du polynôme X
3
− X + 1. Résoudre le système
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x + y + z = 0
ax + by + cz = 2
a
2 x + b
2 y + c
2 z = −3