Équations linéaires
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6.1 L’ESSENTIEL DU COURS
Ce qu’il faut savoir
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et soit f ∈ L(E, F). Soit b un élément
de F. On considère l’équation linéaire (E) :
f (x) = b où l’inconnue x est un
élément de E.
L’équation f (x) = 0 F est appelée l’équation homogène associée.
Description de l’ensemble des solutions
• L’ensemble (S H ) de solutions de l’équation homogène est un sous-espace vectoriel de E (le noyau de l’application linéaire f ).
• Supposons l’équation linéaire f (x) = b compatible et soit x 0 une de ses solutions. Alors l’ensemble S de ses solutions est le sous-espace affine
S = x 0 + S H
dont la direction est le sous-espace vectoriel S H = Ker( f ) des solutions de
l’équation homogène associée.
• Cas où E et F sont de dimensions finies :
Notons r le rang de l’application linéaire f et n la dimension de E.
◦ L’ensemble S H = Ker( f ) des solutions de l’équation linéaire homogène
f (x) = 0 F est un sous-espace vectoriel de E de dimension n − r .
◦ L’ensemble S de l’équation linéaire f (x) = b est ou bien l’ensemble vide
(lorsque l’équation est incompatible), ou bien un sous-espace affine de E de
dimension n − r .
Système de Cramer
• Il s’agit d’un système linéaire de la forme AX = B où on donne une matrice
inversible A ∈ GL n (K), B ∈ M n,1 (K) et où l’inconnue, X , appartient à
M n,1 (K). Un tel système admet une unique solution : X = A
−1 B.
• Les formules de Cramer
Soit X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ l’unique solution du système de Cramer AX = B. Désignons
par D le déterminant de A et, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, par D i le déterminant de