Chap. 5. Déterminants
Si M et M
sont semblables dans M n (C), alors il existe une matrice Q ∈ GL n (C)
telle que M
= Q
−1 M Q, c’est-à-dire telle que Q M
= M Q (*).
La matrice Q = (q jk ) est à coefficients complexes ; on peut écrire q jk = a jk + ib jk
et donc Q = A + i B, avec A = (a jk ) et B = (b jk ). Las matrices A et B sont à
coefficients réels et la relation (*) s’écrit AM
+ i B M
= M A + i M B. En séparant
les parties réelles et imaginaires, on obtient AM
= M A et B M
= M B.
On a donc aussi (A + x B)M
= M( A + x B) pour tout nombre réel x.
Posons alors P(x) = det(A + x B). Il s’agit d’un polynôme à coefficients réels et ce
polynôme n’est pas le polynôme nul puisque P(i) = det(Q) = 0. Il existe donc un
nombre réel x 0 tel que P(x 0 ) = 0.
La matrice Q 0 = A + x 0 B est donc inversible dans M n (R) et vérifie Q 0 M
= M Q 0 .
On a donc M
= Q
−1
0 M Q 0 , ce qui montre que M et M
sont semblables
dans M n (R).
Exercice 5.25
CCP PSI 2005, Mines-Ponts PC 2006 Ã
1) Soient n ∈ N
∗ et C ∈ M n (R).
Montrer que si ∀X ∈ M n (R), det(C + X ) = det(X ), alors C = 0.
2) Soient A et B appartenant à M n (R) telles que
∀X ∈ M n (R), det(A + X ) = det(B + X ).
Montrer que A = B.
1) En prenant en particulier X = −C, on obtient (−1)
n det(C) = 0 et donc
det(C) = 0. Le rang r de C est donc strictement inférieur à n. On sait que dans
ces conditions, il existe des matrices inversibles P et Q telles que C = P J r Q,
avec J r =
I r 0
0 0
. Introduisons la matrice J
r =
0
0
0 I n−r
et posons
D = P J
r Q.
On a alors C + D = P(J r + J
r )Q = P I n Q = P Q, d’où
det(C + D) = det(D) = det(P Q) = 0. Il en résulte que D est inversible et puisque
rg (D) = rg (J
n ) = n − r , on a r = 0 et donc C = 0.
2) Si det(A + X ) = det(B + X ) pour tout X ∈ M n (R), alors on a aussi
det(A − B + X ) = det(B − B + X ) = det(X )
pour tout matrice X et donc A − B = 0 d’après la question précédente.
Si M et M
sont semblables dans M n (C), alors il existe une matrice Q ∈ GL n (C)
telle que M
= Q
−1 M Q, c’est-à-dire telle que Q M
= M Q (*).
La matrice Q = (q jk ) est à coefficients complexes ; on peut écrire q jk = a jk + ib jk
et donc Q = A + i B, avec A = (a jk ) et B = (b jk ). Las matrices A et B sont à
coefficients réels et la relation (*) s’écrit AM
+ i B M
= M A + i M B. En séparant
les parties réelles et imaginaires, on obtient AM
= M A et B M
= M B.
On a donc aussi (A + x B)M
= M( A + x B) pour tout nombre réel x.
Posons alors P(x) = det(A + x B). Il s’agit d’un polynôme à coefficients réels et ce
polynôme n’est pas le polynôme nul puisque P(i) = det(Q) = 0. Il existe donc un
nombre réel x 0 tel que P(x 0 ) = 0.
La matrice Q 0 = A + x 0 B est donc inversible dans M n (R) et vérifie Q 0 M
= M Q 0 .
On a donc M
= Q
−1
0 M Q 0 , ce qui montre que M et M
sont semblables
dans M n (R).
Exercice 5.25
CCP PSI 2005, Mines-Ponts PC 2006 Ã
1) Soient n ∈ N
∗ et C ∈ M n (R).
Montrer que si ∀X ∈ M n (R), det(C + X ) = det(X ), alors C = 0.
2) Soient A et B appartenant à M n (R) telles que
∀X ∈ M n (R), det(A + X ) = det(B + X ).
Montrer que A = B.
1) En prenant en particulier X = −C, on obtient (−1)
n det(C) = 0 et donc
det(C) = 0. Le rang r de C est donc strictement inférieur à n. On sait que dans
ces conditions, il existe des matrices inversibles P et Q telles que C = P J r Q,
avec J r =
I r 0
0 0
. Introduisons la matrice J
r =
0
0
0 I n−r
et posons
D = P J
r Q.
On a alors C + D = P(J r + J
r )Q = P I n Q = P Q, d’où
det(C + D) = det(D) = det(P Q) = 0. Il en résulte que D est inversible et puisque
rg (D) = rg (J
n ) = n − r , on a r = 0 et donc C = 0.
2) Si det(A + X ) = det(B + X ) pour tout X ∈ M n (R), alors on a aussi
det(A − B + X ) = det(B − B + X ) = det(X )
pour tout matrice X et donc A − B = 0 d’après la question précédente.